Question

16．在平行四边形ABCD中，对角线AB、BD交于点O，直线a绕点A旋转，过B、O、D分别作BE⊥a与点E，OF⊥a于点G．当直线a经过点B时，如图一，易证OF=$\frac{1}{2}$DG．当直线a不经过B点，旋转到如图二、图三的位置时，线段BE、OF、DG之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

分析 对于图二，先根据平行四边形的性质得OB=OD，再利用BE⊥a，OF⊥a，DG⊥a易得OF为梯形BEGD的中位线，于是根据梯形BEGD的中位线性质有OF=$\frac{1}{2}$（BE+DG）；
对于图三：过点B作直线b∥a，延长DG交直线b于M，延长OF交直线b于N，由于BE⊥a，OF⊥a，DG⊥a，则BE⊥b，ON⊥b，DM⊥b，利用平行线间的距离相等得BE=FN=GM，再利用平行四边形的性质得OB=OD，
易得ON为△BDM的中位线，则ON=$\frac{1}{2}$DM，即OF+NF=$\frac{1}{2}$（DG+MG），用等线段代换即可得到OF=$\frac{1}{2}$（DG-BE）．

解答 解：图二中，OF=$\frac{1}{2}$（BE+DG）；图三中，OF=$\frac{1}{2}$（DG-BE）．
证明如下：
对于图二，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
∵BE⊥a，OF⊥a，DG⊥a，
∴BE∥OF∥DG，
∴OF为梯形BEGD的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$（BE+DG）；
对于图三：过点B作直线b∥a，延长DG交直线b于M，延长OF交直线b于N，
∵BE⊥a，OF⊥a，DG⊥a，
而a∥b，
∴BE⊥b，ON⊥b，DM⊥b，
∴BE=FN=GM，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
而ON∥DM，
∴ON为△BDM的中位线，
∴ON=$\frac{1}{2}$DM，
即OF+NF=$\frac{1}{2}$（DG+MG），
∴OF=$\frac{1}{2}$（DG-BE）．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质和梯形的中位线性质．