Question

12．在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，根据下列条件，解直角三角形
（1）a=35，c=35$\sqrt{2}$；
（2）∠A=60°，b=4；
（3）∠B=60°，a+b=6．

Answer 1

分析 （1）根据在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a=35，c=35$\sqrt{2}$，可以求得b的长，从而可求得∠A的正弦值，从而可以得到∠A的度数，进而得到∠B的度数；
（2）根据在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，b=4，tanA=$\frac{a}{b}$，可以求得a的长和∠B的度数，从而可以得到c的长；
（3）根据在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B=60°，a+b=6，tanB=$\frac{b}{a}$，可以得到a、b的长和∠A的度数，从而可以得到c的长．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，a=35，c=35$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{（35\sqrt{2}）^{2}-3{5}^{2}}=35$，sinA=$\frac{a}{c}=\frac{35}{35\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=45°，
∴∠B=∠C-∠A=90°-45°=45°，
即∠A=45°，∠B=45°，b=35；
（2）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，b=4，tanA=$\frac{a}{b}$，
∴$\sqrt{3}=\frac{a}{4}$，∠B=90°-60°=30°，
∴a=4$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}=8$，
即∠B=30°，a=4$\sqrt{3}$，c=8；
（3）∵在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，∠B=60°，a+b=6，tanB=$\frac{b}{a}$，
∴∠A=30°，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{\sqrt{3}=\frac{b}{a}}\end{array}\right.$，
解得，a=3$\sqrt{3}$-3，b=9-3$\sqrt{3}$，
∴c=2a=6$\sqrt{3}-6$，
即∠A=30°，a=3$\sqrt{3}$-3，b=9-3$\sqrt{3}$，c=6$\sqrt{3}-6$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边和各角之间的关系，边和锐角三角函数之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．