Question

如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＋AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．

(1)当∠AOB＋22.5°时，求弧AB的长度；

(2)当DE＋8时，求线段EF的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结BC， 　　∵A(10，0)，∴OA＋10，CA＋5，∵∠AOB＋22．5°，∴∠ACB＋2∠AOB＋45°， 　　∴弧AB的长＋　　4分 　　(2)连结OD， 　　得OE＋，∴AE＋AO－OE＋10－6＋4， 　　由△OEF∽△DEA， 　　∴，即，∴EF＋3；或12　　4分 　　(3)设OE＋x， 　　①当交点E在O，C之间时，∴E1(，0)；∴E2(，0)； 　　②当交点E在点C的右侧时， 　　△CEF∽△AED，∴，而AD＋2BE，∴， 　　即，解得，＜0(舍去)，∴E3(，0)； 　　③当交点E在点O的左侧时， 　　CEF∽△AED，∴，而AD＋2BE， 　　∴，∴，解得， 　　＜0(舍去)，∴E4(，0)， 　　综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为： 　　(，0)、(，0)、(，0)、(，0)　　4分