Question

如图，已知直线l∥l，一个45°角的顶点A在l上，过A作AD⊥l，垂足为D，AD＝6．将这个角绕顶点A旋转（角的两边足够长）．

（1）如下图，旋转过程中，若角的两边与l分别交于B、C，且AB＝AC，求BD的长．

为了解决这个问题，下面提供一种解题思路：如图，作∠DAP＝45°，AP与l相交于点P，过点C作CQ⊥AP于点Q．∵∠DAP＝∠BAC ＝45°，∴∠BAD＝∠CAQ， 请你接下去完成解答．

（2）旋转过程中，若角的两边与l分别交于E、F（E在F左面），且AE＞AF，DF＝ 2，求DE的长．请你借鉴（1）的做法在备用图中画图并解答这个问题．

                                         

Answer 1

解：（1）∵AD⊥l，CQ⊥AP，∴∠ADB＝∠AQC＝90°，

又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACQ，∴BD＝CQ，AQ＝AD＝6，

易证△ADP、△CQP是等腰直角三角形，∴AP＝，∴QP＝，

∴BD＝CQ＝ QP＝   

（2）①如图（1）作∠DAP＝45°，AP与l相交于点P，过点F作FQ⊥AP于点Q．

∵∠DAP＝∠EAF ＝45°，∴∠EAD＝∠FAQ，

∵AD⊥l，FQ⊥AP，∴∠ADE＝∠AQF＝90°，

∴△AED∽△AFQ，∴  

易证△ADP、△FQP是等腰直角三角形，

∴DP＝AD＝6，AP＝，

∵DF＝ 2，∴FP＝DP－DF＝4，

∴FQ＝QP＝ ∴AQ＝，

∴，∴DE＝3

②如图（2）作∠DAP＝45°，AP与l相交于点P，过点F作FQ⊥AP于点Q．

∵∠DAP＝∠EAF ＝45°，∴∠EAD＝∠FAQ，

∵AD⊥l，FQ⊥AP，∴∠ADE＝∠AQF＝90°，

∴△AED∽△AFQ，∴   

易证△ADP、△FQP是等腰直角三角形，

∴DP＝AD＝6，AP＝，

∵DF＝ 2，∴FP＝DP＋DF＝8，

∴FQ＝QP＝ ∴AQ＝，

∴，∴DE＝12．