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【题目】抛物线y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.

(1)如图1,当t=0时,连接AC、BC,求ABC的面积;

(2)如图2,在(1)的条件下,若点P为在第四象限的抛物线上的一点,且∠PCB+∠CAB=135°,求P点坐标;

(3)如图3,当﹣1<t<3时,若Q是抛物线上A、C之间的一点(不与A、C重合),直线QA、QB分别交y轴于D、E两点.在Q点运动过程中,是否存在固定的t值,使得CE=2CD.若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)6.(2),﹣).(3)t=

【解析】

(1)代入t=0可得出抛物线的解析式,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,C的坐标,再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积;
(2)由点B,C的坐标可得出∠ABC=45°,利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°,结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB,过BBM∥y轴,交CP延长线于M,由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC,结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC(ASA),利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4,进而可得出点M的坐标,根据点C,M的坐标,利用待定系数法可求出直线CM的解析式,再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标;
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程,可求出点A,B,C的坐标,设直线AQ的解析式为:y=k1x+b1,直线BQ的解析式为:y=k1x+b2,则CD=(t2-2t-3)-b1,CE=b2-(t2-2t-3),将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可得出xAxQ=t2-2t-3-b1①,xBxQ=t2-2t-3-b2②,利用②÷①结合CE=2CD,即可得出关于t的方程,解之即可得出结论.

解:(1)将t=0代入抛物线解析式得:y=x2﹣2x﹣3.

当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,

点C的坐标为(0,﹣3);

当y=0时,有x2﹣2x﹣3=0,

解得:x1=3,x2=﹣1,

点B的坐标为(3,0),点A的坐标为(﹣1,0).

∴SABC= ABOC=×[3﹣(﹣1)]×3=6.

(2)由(1)知:B(3,0),C(0,﹣3),

∴OB=OC,

∴∠ABC=45°,

∴∠ACB+∠CAB=135°.

∵∠PCB+∠CAB=135°,

∴∠ACB=∠PCB.

在图2中,过B作BMy轴,交CP延长线于M.

∴∠ABC=∠MBC.

ABC和MBC中,

∴△ABC≌△MBC(ASA),

∴AB=MB=4,

点M的坐标为(3,﹣4),

直线CM解析式为:y=﹣x﹣3(利用待定系数法可求出该解析式).

联立直线CM及抛物线的解析式成方程组,得:

解得:(舍去),

点P的坐标为(,﹣).

(3)当y=0时,有x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3=0,即[x+( t﹣3)][x+( t+1)]=0,

解得:x1=﹣t+3,x2=﹣t﹣1,

点A的坐标为(﹣t﹣1,0),点B的坐标为(﹣t+3,0).

当x=0时,y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3,

点C的坐标为(0,t2﹣2t﹣3).

设直线AQ的解析式为:y=k1x+b1,直线BQ的解析式为:y=k1x+b2

点D的坐标为(0,b1),点E的坐标为(0,b2),

∴CD=(t2﹣2t﹣3)﹣b1,CE=b2﹣(t2﹣2t﹣3).

∵y=k1x+b1,y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3,

∴x2+(2t﹣2﹣k1)x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0,

∴xAxQ=t2﹣2t﹣3﹣b1①.

同理:xBxQ=t2﹣2t﹣3﹣b2②.

②÷①,得: ==﹣

=﹣=2,

=﹣2,

∴t=

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