【题目】抛物线y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.
(1)如图1,当t=0时,连接AC、BC,求△ABC的面积;
(2)如图2,在(1)的条件下,若点P为在第四象限的抛物线上的一点,且∠PCB+∠CAB=135°,求P点坐标;
(3)如图3,当﹣1<t<3时,若Q是抛物线上A、C之间的一点(不与A、C重合),直线QA、QB分别交y轴于D、E两点.在Q点运动过程中,是否存在固定的t值,使得CE=2CD.若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)6.(2)(,﹣).(3)t=.
【解析】
(1)代入t=0可得出抛物线的解析式,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,C的坐标,再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积;
(2)由点B,C的坐标可得出∠ABC=45°,利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°,结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB,过B作BM∥y轴,交CP延长线于M,由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC,结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC(ASA),利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4,进而可得出点M的坐标,根据点C,M的坐标,利用待定系数法可求出直线CM的解析式,再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标;
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程,可求出点A,B,C的坐标,设直线AQ的解析式为:y=k1x+b1,直线BQ的解析式为:y=k1x+b2,则CD=(t2-2t-3)-b1,CE=b2-(t2-2t-3),将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可得出xAxQ=t2-2t-3-b1①,xBxQ=t2-2t-3-b2②,利用②÷①结合CE=2CD,即可得出关于t的方程,解之即可得出结论.
解:(1)将t=0代入抛物线解析式得:y=x2﹣2x﹣3.
当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,
∴点C的坐标为(0,﹣3);
当y=0时,有x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=3,x2=﹣1,
∴点B的坐标为(3,0),点A的坐标为(﹣1,0).
∴S△ABC= ABOC=×[3﹣(﹣1)]×3=6.
(2)由(1)知:B(3,0),C(0,﹣3),
∴OB=OC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACB+∠CAB=135°.
又∵∠PCB+∠CAB=135°,
∴∠ACB=∠PCB.
在图2中,过B作BM∥y轴,交CP延长线于M.
∴∠ABC=∠MBC.
在△ABC和△MBC中,,
∴△ABC≌△MBC(ASA),
∴AB=MB=4,
∴点M的坐标为(3,﹣4),
∴直线CM解析式为:y=﹣x﹣3(利用待定系数法可求出该解析式).
联立直线CM及抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:(舍去),,
∴点P的坐标为(,﹣).
(3)当y=0时,有x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3=0,即[x+( t﹣3)][x+( t+1)]=0,
解得:x1=﹣t+3,x2=﹣t﹣1,
∴点A的坐标为(﹣t﹣1,0),点B的坐标为(﹣t+3,0).
当x=0时,y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3,
∴点C的坐标为(0,t2﹣2t﹣3).
设直线AQ的解析式为:y=k1x+b1,直线BQ的解析式为:y=k1x+b2.
∴点D的坐标为(0,b1),点E的坐标为(0,b2),
∴CD=(t2﹣2t﹣3)﹣b1,CE=b2﹣(t2﹣2t﹣3).
∵y=k1x+b1,y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3,
∴x2+(2t﹣2﹣k1)x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0,
∴xAxQ=t2﹣2t﹣3﹣b1①.>
同理:xBxQ=t2﹣2t﹣3﹣b2②.
由②÷①,得: ==﹣,
∴=﹣=2,
∴=﹣2,
∴t= .
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【题目】某校科技实践社团制作实践设备,小明的操作过程如下:
①小明取出老师提供的圆形细铁环,先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O,再任意找出圆O的一条直径标记为AB(如图1),测量出AB=4分米;
②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置,翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D(如图2);
③用一细橡胶棒连接C、D两点(如图3);
④计算出橡胶棒CD的长度.
小明计算橡胶棒CD的长度为( )
A. 2分米 B. 2分米 C. 3分米 D. 3分米
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【题目】如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为( )
A. 10×6﹣4×6x=32 B. (10﹣2x)(6﹣2x)=32
C. (10﹣x)(6﹣x)=32 D. 10×6﹣4x2=32
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C都是格点.
(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)作出△ABC关于直线l对称的△A3B3C3,使A,B,C的对称点分别是A3,B3,C3;
(4)△A2B2C2与△A3B3C3成_____________,△A1B1C1与△A2B2C2成_____________(填“中心对称”或“轴对称”).如果成中心对称请你在图中确定其对称中心点P的位置.
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【题目】如图1,⊙O是△ABC的外接圆,连接AO,若∠BAC+∠OAB=90°.
(1)求证:
(2)如图2,作CD⊥AB交于D,AO的延长线交CD于E,若AO=3,AE=4,求线段AC的长.
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【题目】中考体育测试前,某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况,随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩,并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图:
请你根据图中的信息,解答下列问题:
(1)写出扇形图中a= %,并补全条形图;
(2)在这次抽测中,测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个.
(3)该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人,如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分,请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名?
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【题目】如图,在平面直角坐标xOy中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动,每旋转60°为滚动1次,那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时,点F的坐标是__________.
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【题目】如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.
(1)当出发 时,点P和点Q之间的距离是10cm;
(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P、Q两点的距离为 cm;当运动时间为4s时,P、Q两点的距离为 cm;
(3)探索发现:如图2,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,1cm长为单位长度建立平面直角坐标系,连接AC,与PQ相交于点D,若双曲线y=过点D,问k的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,顶点D的坐标分别为A(﹣1,0),D(1,m).
(1)当OB=OC时,直接写出抛物线的解析式;
(2)直线CD必经过某一定点,请你分析理由并求出该定点坐标;
(3)点P为直线CD上一点,当以点P,A,B为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求m的值.
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