Question

我们定义：在等腰三角形中，腰与底边的比叫做等腰三角形的正度．已知△ABC中，AB=AC，D是底边上的一个动点（D与B、C不重合）．
（1）张强同学认为一定存在点D，使△ABD具有正度，你认为张强同学的说法正确吗？如果正确，请加以证明；不正确，举一个反例说明；
（2）如图，∠A＞∠ABC，△ABC的正度为

5

8

，周长为18，是否存在点D，使△ABD具有正度？若存在．求出△ABD的正度；不存在，说明理由．

Answer 1

考点：解直角三角形,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）不一定存在点D，使△ABD具有正度，反例：当∠BAC＜∠ABC，只需说明△ABD不可能为等腰三角形即可．
（2）由△ABC的正度为

5

8

，周长为18，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况讨论：①当AB=BD=5时，如图（2），求出AD即可；②当AD=BD时，如图（3），求出AD即可．

解答：解：（1）不一定存在点D，使△ABD具有正度，
反例：当∠BAC＜∠ABC时，如图（1）

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC＜∠ABC，
∴∠BAD＜∠ABC，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ADB＞∠ABC＞∠BAD，
∴AB＞AD＞BD，
∴△ABD不可能为等腰三角形，
∴不一定存在点D，使△ABD具有正度．
（2）存在．
∵△ABC的正度为

5

8

，
∴

AB

BC

=

5

8

，
设：AB=5x，BC=8x，则AC=5x，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC=18，
即：18x=18，
∴x=1，
∴AB=5x=5，BC=8x=8，AC=5x=5，
分两种情况：
①当AB=BD=5时，如图（2）

过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
∵BD=5，
∴DE=BD-BE=1，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE=3，
在Rt△AED中，
由勾股定理得：AD=

10

，
∴△ABD的正度=

AB

AD

=

5

10

=

10

2

；
②当AD=BD时，如图（3）

由①可知：BE=4，AE=3，
∵AD=BD，
∴DE=BE-BD=4-AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD²-DE²=AE²，
即：AD²-（4-AD）²=3²，
解得：AD=

25

8

，
∴△ABD的正度=

AD

AB

=

25 8

5

=

5

8

．
综上所述存在两个点D，使△ABD具有正度．△ABD的正度为

10

2

或

5

8

．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是：理解正度的含义．