Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠Q=

3

5

，BP=6，AP=2，求QC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）如图，连结OC．欲证明CD是⊙O的切线，只需证得CD⊥OC即可；
（2）如图，作OH⊥BC，H为垂足．通过解Rt△BQP和在Rt△BHO中，可以求得BQ=10、BH=

12

5

．然后由等腰三角形“三线合一”的性质得到BC=2BH=2×

12

5

=

24

5

，则CQ=BQ-BC=

26

5

．

解答：解：（1）如图，连结OC．
∵DQ=DC，
∴∠Q=∠QCD．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，
∴∠QPB=90° 即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；

（2）如图，作OH⊥BC，H为垂足．
∵BP=6，AP=2，
∴AB=8，OB=

1

2

AB=4．
在Rt△BQP中，sinQ=

BP

BQ

=

6

BQ

=

3

5

，
∴BQ=10，cos∠B=sin∠Q=

3

5

在Rt△BHO中，cos∠B=

BH

BO

=

BH

4

=

3

5

，
∴BH=

12

5

．
∵OH⊥BC，
∴BC=2BH=2×

12

5

=

24

5

，
∴CQ=BQ-BC=

26

5

．
（法二：连结AC，证△ABC∽△QBP，得

BC

BP

=

AB

BQ

，

BC

6

=

8

10

，BC=

24

5

∴CQ=BQ-BC=

26

5

）．

点评：本题考查了切线的判定和解直角三角形的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查圆周角定理的推论以及解直角三角形．