现有一副直角三角板.已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合．即△C′DA′的顶点A′.C′分别与△BAC的顶点A.C重合．现在让△C′DA′固定不动.将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D．(1)如图②.将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α.使BC边经过点D.则α=15°(2)如图③.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．现有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合．现在让△C′DA′固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D．
（1）如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α=15°
（2）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D．试说明：BC∥A′C′．
（3）如图④，若将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，已知AB=2$\sqrt{3}$，求m的值．

分析（1）根据α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA，进而求出答案即可；
（2）根据旋转的性质得出∠CAC′=∠BAD，进而得出∠CAC′=∠C，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，HC以及HC′的长，进而得出答案．

解答解：（1）如图②，α=∠A′C′A=45°-30°=15°；
（2）如图③，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠C=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC，
∵AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{1}{2}$AC，
∴AH=DH，
∴∠HAD=45°，
∴∠HAC′=∠HAD+∠DAC′=90°，
∴HA⊥AC′，
∴BC∥A′C′；
（3）如图④，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∵AB=$2\sqrt{3}$，
∴AC=A′C′=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6，
∴HC′=DH=$\frac{1}{2}A′C′$=3，
∴HC=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
所以m的值为：HC-HC′=3$\sqrt{3}$-3．

点评此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数的关系等知识，根据已知得出HC以及HC′的长是解题关键．

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