【题目】把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:t的值为 (用含m的代数式表示)
(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;
(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
【答案】(1)2m﹣1;(2)C2:y=x2﹣4x;(3)0<a或a≥1或a≤﹣.
【解析】
(1)C1:y=ax22ax3a=a(x1)24a,顶点(1,4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m1,4a),即可求解;(2)分≤t<1、1≤t≤、t>三种情况,分别求解,(3)分a>0、a<0两种情况,分别求解.
解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
顶点(1,﹣4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m﹣1,4a),
C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,
t=2m﹣1,
故答案为:2m﹣1;
(2)a=﹣1时,
C1:y=﹣(x﹣1)2+4,
①当≤t<1时,
x=时,有最小值y2=,
x=t时,有最大值y1=﹣(t﹣1)2+4,
则y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣=1,无解;
②1≤t≤时,
x=1时,有最大值y1=4,
x=时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2=≠1(舍去);
③当t>时,
x=1时,有最大值y1=4,
x=t时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2span>=(t﹣1)2=1,
解得:t=0或2(舍去0),
故C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;
(3)m=0,
C2:y=﹣a(x+1)2+4a,
点A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣3a,0),
当a>0时,a越大,则OD越大,则点D′越靠左,
当C2过点A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a=,
当C2过点D′时,同理可得:a=1,
故:0<a≤或a≥1;
当a<0时,
当C2过点D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣,
故:a≤﹣;
综上,故:0<a≤或a≥1或a≤﹣.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线 的顶点为,且经过点与轴交于点,连接,,.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)点为该抛物线上点与点之间的一动点.
①若,求点的坐标.
②如图②,过点作轴的垂线,垂足为,连接并延长,交于点,连接延长交于点.试说明为定值.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,点E是AD边上的动点,从点A开始沿AD向D运动.以BE为边,在BE的上方作正方形BEFG,EF交DC于点H,连接CG、BH.请探究:
(1)线段AE与CG是否相等?请说明理由.
(2)若设AE=x,DH=y,当x取何值时,y最大?最大值是多少?
(3)当点E运动到AD的何位置时,△BEH∽△BAE?
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【题目】图①、②、③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形边长为1,点A、C在格点上.在给定的网格中按要求画图,所面图形的顶点均在格点上.
(1)在图①中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC;
(2)在图②中画出以AC为腰的等腰三角形ACD,且△ACD的面积为8;
(3)在图③中作一个平行四边形ACMN,使平行四边形ACMN的面积为(1)中△ABC面积的2倍.
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【题目】有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起,如图,将△A′B′C′绕AC的中点M转动,斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C,且与△ABC的斜边AB交于点N,连接AA′、C′C、AC′.若AC的长为2,有以下五个结论:①AA′=1;②C′C⊥A′B′;③点N是边AB的中点;④四边形AA′CC′为矩形;⑤A′N=B′C=,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】“校园读诗词诵经典比赛”结束后,评委刘老师将此次所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图,部分信息如下图:
扇形统计图 频数直方图
(1)参加本次比赛的选手共有________人,参赛选手比赛成绩的中位数在__________分数段;补全频数直方图.
(2)若此次比赛的前五名成绩中有名男生和名女生,如果从他们中任选人作为获奖代表发言,请利用表格或画树状图求恰好选中男女的概率.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(-,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1<y2, 其中结论正确的是________.
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【题目】已知抛物线.
(1)当,时,求抛物线与轴的交点个数;
(2)当时,判断抛物线的顶点能否落在第四象限,并说明理由;
(3)当时,过点的抛物线中,将其中两条抛物线的顶点分别记为,,若点,的横坐标分别是,,且点在第三象限.以线段为直径作圆,设该圆的面积为,求的取值范围.
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