Question

17．已知抛物线y=a（x+1）（x-$\frac{3}{a}$）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的a的值有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①a＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②a＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．

解答 解：解法1：y=a（x+1）（x-$\frac{3}{a}$）=（x+1）（ax-3），
所以，抛物线经过点A（-1，0），C（0，-3），
AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
点B坐标为（$\frac{3}{a}$，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则$\sqrt{（\frac{3}{a}）^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，解得a=3，
若AC=AB，则$\frac{3}{a}$+1=$\sqrt{10}$，解得a=$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$，
若AB=BC，则 $\frac{3}{a}$+1=$\sqrt{（\frac{3}{a}）^{2}+{3}^{2}}$，解得a=$\frac{3}{4}$；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则-1-$\frac{3}{a}$=$\sqrt{10}$，解得a=-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
所以，能使△ABC为等腰三角形的a的值有4个．
解法2：易得抛物线一定过两个定点：（-1，0），（0，-3），连接这两个定点，得到一条线段，以这条线段为底边可以在横轴上找一点构成等腰三角形，以这条线段为腰，分别以两个定点为顶点可以在横轴上找到三个点构成等腰三角形，所以共有四个点可以与定点构成等腰三角形，从而可以确定四个形状不同的抛物线，所以a有四个值．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，此题有一定的难度．