Question

7．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=$2\sqrt{2}$，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PB为圆的切线，得到OB垂直于BP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OA垂直于AP，即PA为圆O的切线；
（2）EF²=4DO•PO，理由为：由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证．
（3）连接AE，由已知条件设AE=x，AF=2x，根据勾股定理得出EF，由面积得出AD，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出cos∠ACB的值，再求出OD、OP的长，即可求出线段PE的长．

解答 （1）证明：连接OB，
∵PB与圆O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{OP=OP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
则直线PA为圆O的切线；
（2）EF²=4DO•PO，理由为：
证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，
∵EF为圆的直径，即EF=2OA，
∴$\frac{1}{4}$EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP．
故答案为：EF²=4OD•OP；
（3）连接AE，如图所示：
∵EF为直径，
∴∠FAE=90°．
∵tan∠F=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=2$\sqrt{2}$，
∴设AE=x，AF=2$\sqrt{2}$x，
则由勾股定理，得EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=3x，
∵$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•AD，
∴AD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴Rt△ABC中，AC=x，BC²+AB²=AC²，
∴6²+（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x）²=（3x）²，
解得：x=$\frac{18}{7}$，
∴AC=3x=$\frac{54}{7}$，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{7}{9}$；
∵AD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{18}{7}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{27}{7}$，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{21}{7}$，
又∵OA²=OD•OP，
∴OP=$\frac{O{A}^{2}}{OD}$=$\frac{243}{49}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{243}{49}$-$\frac{27}{7}$=$\frac{54}{49}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，通过设未知数，根据勾股定理列出方程，解方程以达到求解的目的是解题的关键．