Question

已知：如图，点P在∠AOB的边OA上．
（1）作图（保留作图痕迹）
①作∠AOB的平分线OM；
②以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于点C；
③过点C作CD⊥OB，垂足为点D．
（2）当∠AOB=30°时，求证：PC=2CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据角平分线的作法以及作一角等于已知角进而得出图形即可；
（2）利用在直角三角形中30度所对边等于斜边的一半得出即可．
解答：解：（1）如图所示：

（2）过点P作PF⊥OB于点F，
∵∠APC=∠AOB，
∴PC∥OB，
∴∠PCO=∠POC，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC=∠MOB，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=PC，
∵∠AOB=30°，∠PFO=90°，
∴PF=OP，
∵PC∥OB，PF⊥OB，CD⊥BO，
∴PF=DC，
∴DC=OP=PC，
即PC=2CD．
点评：本题主要考查了角平分线的作法以及作一角等于已知角以及到角平分线的性质等知识，利用平行线的性质以及30度所对边等于斜边的一半得出是解题关键．