Question

【题目】已知抛物线C1：y＝(x－1)2＋1与y轴交于点A，过点A与点(1，3)的直线与C1交于点B

(1) 求直线AB的函数表达式

(2) 如图1，若点P为直线AB下方的C1上一点，求点P到直线AB的距离的最大值

(3) 如图2，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后恰好经过C1的顶点C，沿射线AC的方向平移抛物线C1得到抛物线C2，C2的顶点为D，两抛物线相交于点E．设交点E的横坐标为m．若∠AED＝90°，求m的值

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋2(2)(3)m=1+

【解析】(1) y＝x＋2

(2) 设P(a，a2－2a＋2)

过点P作PQ∥y交轴交AB于Q

∴Q(a，a＋2)

∴PQ＝(a＋2)－(a2－2a＋2)＝－a2＋3a＝

当时，PQ有最大值为

过点P作PM⊥AB于M

∵直线AB与竖直方向的夹角为45°

∴△PQM为等腰直角三角形

∴PM＝

即P到AB的距离的最大值为

方法2：P在平行于AB且于抛物线相切的切点处

(3) 直线AD的解析式为y＝－x＋2

设D(n，－n＋2)

∴C2：y＝(x－n)2－n＋2

∵E(m，m2－2m＋2)同时也在C2上

∴(m－n)2－n＋2＝m2－2m＋2

整理得：(2m－n)(n－1)＝0，n＝2m或n＝1（舍去）

∴D(2m，－2m＋2)

接下来使用K字型

过点E作MN∥x轴交y轴于M，过点D作DN⊥MN于N

∴△DNE∽△EMA

∴DN·AM＝ME·EN

即[(m2－2m＋2)－(－2m＋2)]·[(m2－2m＋2)－2]＝m2，m2－2m－1＝0

解得

∵m＞0

∴