Question

17．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG．试说明：
（1）CE=BG；
（2）CE⊥BG．

Answer 1

分析 （1）要证明CE=BG，可通过证明△EAC与△BAG全等来证明；
（2）因为△EAC≌△BAG，所以∠AEC=∠ABG．如图EC交AB于点M，交BG于点N，根据三角形的内角和定理，在△AEM和△BNM中，∠EMA=∠BMN，∠AEC=∠ABG，所以∠ENB=∠EAB=90°，由垂直的定义可以证得CE⊥BG．

解答 解：
（1）在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即：∠EAC=∠BAG，
 在△EAC和△BAG中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB（已证）}\\{∠EAC=∠BAG（已证）}\\{AC=AG（已证）}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴EC=BG（全等三角形的对应边相等）；
（2）如图EC交AB于点M，交BG于点N，
∵△EAC≌△BAG（已证），
∴∠AEC=∠ABG（全等三角形的对应角相等），
又∵∠EMA=∠BMN（对顶角相等），
∴∠AEC+∠EMA=∠ABG+∠BNM，
∴180°-（∠AEC+∠EMA）=180°-（∠ABG+∠BNM）（三角形内角和定理），
即：∠MNB=∠EAB=90°，
∴CE⊥BG（垂直定义）．

点评 本题考查得用全等三角形证明两条线段相等，证明两条线段相等通常证明两条线段所在的三角形全等．这也是我们证明两条线段相等常用的方法之一．