Question

3．若x²+x-1=0（x＞0），且x⁵=a+b$\sqrt{5}$，这里a，b是有理数，则a+b=-3．

Answer 1

分析 根据x＞0利用公式法求出x的值，同时得x²=1-x，三次代入x⁵得x⁵=5x-3=a+b$\sqrt{5}$达到降幂目的，将x值代入可求出a、b的值，计算可得．

解答 解：在x²+x-1=0中，
∵a=1，b=1，c=-1，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{{1}^{2}-4×1×（-1）}}{2}$=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，且x²=1-x，
则x⁵=x（1-x）²
=x（1-2x+x²）
=x（1-2x+1-x）
=x（2-3x）
=2x-3x²
=2x-3（1-x）
=5x-3
∵x⁵=a+b$\sqrt{5}$，且a，b是有理数，
∴5×$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$-3=a+b$\sqrt{5}$，即-$\frac{11}{2}$+$\frac{5}{2}\sqrt{5}$=a+b$\sqrt{5}$，
∴a=-$\frac{11}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
则a+b=-3，
故答案为：-3．

点评 本题主要考查解方程的基本技能和数学中的化归思想，通过解方程求出x的值是根本，整体代入以达到降幂目的是解题关键．