Question

18．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有无数个．
②写出向下平移且经过点A的解析式y=-x²-1．
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A、B两点，所得的抛物线l₂，如图2，求抛物线l₂．
（3）在y轴上是否存在点P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据实际情况可以直接写出结果；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，把（1，-2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，求得△ABC的面积；
（3）分当点P位于点G的下方和上方两种情况进行讨论求解．

解答 解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，把A（1，-2）代入得：-1+c=-2，
解得：c=-1，则函数的解析式是：y=-x²-1；
故答案为：①无数个；②y=-x²-1．
（2）设l₂的解析式是y=-x²+bx+c，
∵l₂经过点A（1，-2）和B（3，-1），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-1+b+c}\\{-1=-9+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，则l₂的解析式是：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
则顶点C的坐标是（$\frac{9}{4}$，-$\frac{7}{16}$）．
过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=$\frac{7}{16}$，BE=1，DE=2，DF=$\frac{5}{4}$，FE=$\frac{3}{4}$．
所以S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=$\frac{15}{16}$．
（3）如图所示：延长BA交y轴于点G．

直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，则点G的坐标为（0，-$\frac{5}{2}$），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，PG=-$\frac{5}{2}$-h，连结AP、BP，则S_△APG=S_△BPG-S_△ABP=$\frac{1}{2}×$1×（-$\frac{5}{2}$-h），
∴S_△ABP=（-$\frac{5}{2}$-h）．
又∵S_△ABC=S_△ABP=$\frac{15}{16}$，得h=-$\frac{55}{16}$，点P的坐标为（0，-$\frac{55}{16}$）．
②当点P位于点G的上方时，PG=$\frac{5}{2}$+h，同理得h=-$\frac{25}{16}$，点P的坐标为（0，-$\frac{25}{16}$）．
综上所述所求点P的坐标为（0，-$\frac{55}{16}$）或（0，-$\frac{25}{16}$）．

点评 本题是二次函数的综合应用，主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、割补法求不规则图形的面积，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键．