探究学习:已知:C是线段AB所在平面内任意一点.分别以AC.BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE.∠ACD=∠BCE=90°.连接AE.BD．(1)如图1.当点C在线段AB上移动时.线段AE 与BD的数量关系是AE=BD.位置关系是AE⊥BD．(2)如图2.当点C在直线AB外.等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位置.(1)中的结论是否仍然� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．探究学习：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角
三角形ACD和等腰直角三角形BCE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AE、BD．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE 与BD的数量关系是AE=BD，位置关系是AE⊥BD．
（2）如图2，当点C在直线AB外，等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形ACD的斜边AD的中点M，连接CM交BE于点G，试探究BG、GH、HE的数量关系，并写出证明思路．

分析（1）延长AE交BD于F，根据△ACE≌△DCB，即可得出AE=DB，∠CAE=∠CDB，进而得到∠DFE=90°，即AE⊥DB；
（2）根据△ACD和△BCE是等腰直角三角形，判定△ACE≌△DCB （SAS），即可得到AE=BD，∠EAC=∠BDC，再延长AE交BD于点F，根据三角形内角和定理，得出∠DFA=90°，即可得到AE⊥BD；
（3）过点C作CF⊥CG，且CF=CG，连接HF、EF，判定△BCG≌△ECF（SAS），即可得出BG=EF，∠CBG=∠CEF=45°，再判定△GCH≌△FCH（SAS），即可得到GH=FH，在Rt△HEF中，根据勾股定理得出EF²+HE²=FH²，进而得到BG²+HE²=GH²．

解答解：（1）如图1，延长AE交BD于F，
根据等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，
可得AC=DC，∠ACE=∠DCB，EC=BC，
易得△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，
又∵∠ACE=90°，∠AEC=∠DEF，
∴∠DFE=90°，
∴AF⊥DB，即AE⊥DB，
故线段AE 与BD的数量关系是AE=BD，位置关系是 AE⊥BD．
故答案为：AE=BD，AE⊥BD．

（2）结论AE=BD，AE⊥BD仍然成立．
证明：∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=CD，CE=CB，
又∵∠ACE+∠ECD=90°，∠BCD+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC，
如图2，延长AE交BD于点F，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
又∵∠ADF+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠BDC+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠EAC+∠DAF+∠DFA=180°，
∴∠ADC+∠DAC+∠DFA=180°，
∴90°+∠DFA=180°，
∴∠DFA=90°，
∴AE⊥BD；

（3）BG、GH、HE的数量关系是 BG²+HE²=GH²．
证明：如图3，过点C作CF⊥CG，且CF=CG，连接HF、EF．
∵CF⊥CG，CE⊥CB，
∴∠BCG=∠ECF，
在△BCG和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}\\{∠BCG=∠ECF}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ECF（SAS），
∴BG=EF，∠CBG=∠CEF=45°，
∴∠HEF=∠HEC+∠CEF=90°，
又∵△ACE≌△DCB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴∠FCH=∠ACE+∠ECF=∠DCB+∠BCG=45°，
∴∠GCH=∠FCH，
在△GCH和△FCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CG}\\{∠GCH=∠FCH}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△GCH≌△FCH（SAS），
∴GH=FH，
∵在Rt△HEF中，EF²+HE²=FH²，
∴BG²+HE²=GH²．

点评本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及全等三角形，根据三角形内角和等于180°以及全等三角形的对应边相等进行推导．

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