Question

14．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB=4，连接AC．
①当AC=2时，四边形OBEC为菱形；
②当AC=2$\sqrt{2}$时，四边形EDCF为正方形．

Answer 1

分析 （1）根据三个角是直角的四边形是矩形，首先证明四边形CFED是矩形，由此即可解决问题．
（2）①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．连接OE，只要证明△EOB，△COE都是等边三角形即可解决问题．
②当四边形DEFC是正方形时，可以证明AE是⊙O是直径，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，

∵BD⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD是切线，
∴∠FCD=90°，
∴四边形CFED矩形，
∴CF=DE，EF=CD，
在△CDE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EF}\\{CE=EC}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．
理由：连接OE．

∵AC=OA=OC=2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO=∠AOC=60°，
∵∠AFO=90°，
∴∠EAB=30°，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=60°，∵OE=OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=180°-60°-60°=60°，∵CO=OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE=CO=OB=EB，
∴四边形OCEB是菱形．
故答案为2．
②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF=FE，
∵∠CEF=∠FCE=45°，
∵OC⊥AE，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴∠ACE=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$．
∴AC=2$\sqrt{2}$时，四边形DEFC是正方形．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．