Question

【题目】如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．

（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，求CB'的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：四边形ACC'A'是菱形．理由如下：

由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，

则四边形ACC'A'是平行四边形．

∴∠ACC′=∠AA′C′，

又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，

∴CD也平分∠AA′C′，

∴四边形ACC'A'是菱形．

（2）

解：∵在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC= ，

∴cos∠BAC= = ，即 = ，

∴AC=26．

∴由勾股定理知：BC= = =7 ．

又由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，

∴AC=AA′=26．

由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，

∴AA′=BB′=26，

∴CB′=BB′﹣BC=26﹣7 ．

【解析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由（1）中菱形ACC'A'的性质推知AC=AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′=BB′，所以CB′=BB′﹣BC．
【考点精析】通过灵活运用平移的性质和解直角三角形，掌握①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．