【题目】已知抛物线y=ax2﹣4a(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动.
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为 ?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标.
【答案】
(1)解:如图1,
令y=0代入y=ax2﹣4a,
∴0=ax2﹣4a,
∵a>0,
∴x2﹣4=0,
∴x=±2,
∴A(﹣2,0),B(2,0),
∴AB=4,
过点P作PC⊥x轴于点C,
∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,
∵PB=AB=4,
∴cos∠PBC= ,
∴BC=2,
由勾股定理可求得:PC=2 ,
∵OC=OB+BC=4,
∴P(4,2 ),
把P(4,2 )代入y=ax2﹣4a,
∴2 =16a﹣4a,
∴a= ,
∴抛物线解析式为;y= x2﹣ ;
(2)解:∵点M在抛物线上,
∴n= m2﹣ ,
∴M的坐标为(m, m2﹣ ),
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,
∴2≤m≤4,
如图2,过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,
设直线AP的解析式为y=kx+b,
把A(﹣2,0)与P(4,2 )代入y=kx+b,
得: ,
解得
∴直线AP的解析式为:y= x+ ,
令x=m代入y= x+ ,
∴y= m+ ,
∴D的坐标为(m, m+ ),
∴DM=( m+ )﹣( m2﹣ )=﹣ m2+ m+ ,
∴S△APM= DMAE+ DMCE
= DM(AE+CE)
= DMAC
=﹣ m2+ m+4
当S△APM= 时,
∴ =﹣ m2+ m+4 ,
∴解得m=3或m=﹣1,
∵2≤m≤4,
∴m=3,
此时,M的坐标为(3, );
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,
∴﹣2≤m≤2,n<0,
当﹣2≤m≤0时,
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ (m+ )2+ ,
当m=﹣ 时,
∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为 ,
此时,M的坐标为(﹣ ,﹣ ),
当0<m≤2时,
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ (m﹣ )2+ ,
当m= 时,
∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为 ,
此时,M的坐标为( ,﹣ ),
综上所述,当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,M的坐标为( ,﹣ )或(﹣ ,﹣ )时,|m|+|n|的最大值为 .
【解析】(1)首先令y=0得到关于x的方程,从而可求出A、B两点坐标,然后过点P作PC⊥x轴于点C,接下来,根据∠PBA=120°,PB=AB,分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标,最后将点P的坐标代入二次函数解析式即;
(2)①过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,分别用含m的式子表示点D、M的坐标,然后代入△APM的面积公式DMAC,根据题意列出方程求出m的值;②根据题意可知:n<0,然后对m的值进行分类讨论,当-2≤m≤0时,|m|=-m;当0<m≤2时,|m|=m,列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值
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【题目】如图,圆柱底面半径为cm,高为9cm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点,则这根棉线的长度最短为( )
A. 12cm B. cm C. 15cm D. cm
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【题目】如图,ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( )
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
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【题目】如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO′=6+3;其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②
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【题目】如图,直线AB、CD、EF相交于点O,OG⊥CD,∠BOD=32°.
(1)求∠AOG的度数;
(2)如果OC是∠AOE的平分线,那么OG是∠AOF的平分线吗?请说明理由.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC;
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC;
(3) 在轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
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【题目】在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件:(1) ,(2) ;(3)∠A=∠A′;(4)∠C=∠C′,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( )
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
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【题目】“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN=_____°;
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
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