【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a≠0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;
(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)S=,运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;(3)t=或t=.
【解析】
(1)把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b、c的解析式,通过解方程组求得它们的值;
(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式.利用二次函数的图象性质进行解答;
(3)根据余弦函数,可得关于t的方程,解方程,可得答案.
(1)∵点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1,
∴A(﹣2,0),把点A(﹣2,0)、B(4,0)、点C(0,3),
分别代入(a≠0),得:,解得:,所以该抛物线的解析式为:;
(2)设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.
由题意得,点C的坐标为(0,3).在Rt△BOC中,BC==5.
如图1,过点N作NH⊥AB于点H,
∴NH∥CO,
∴△BHN∽△BOC,
∴,即,
∴HN=t,
∴S△MBN=MBHN=(6﹣3t)t,
即S=,
当△PBQ存在时,0<t<2,
∴当t=1时,S△PBQ最大=.
答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;
(3)如图2,在Rt△OBC中,cos∠B=.
设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.
①当∠MNB=90°时,cos∠B=,即,化简,得17t=24,解得t=;
②当∠BMN=90°时,cos∠B=,化简,得19t=30,解得t=.
综上所述:t=或t=时,△MBN为直角三角形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的面积为20,顶点A在y轴上,顶点C在x轴上,顶点D在双曲线的图象上,边CD交y轴于点E,若,则k的值为______.
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【题目】为了提高农民抵御大病风险的能力,全国农村推行了新型农村合作医疗政策,农民只需每人每年交10元钱,就可以加入合作医疗.若农民患病住院治疗,出院后到新型农村合作医疗办公室按一定比例报销医疗费.小军与同学随机调查了他们镇的一些村民,根据收集到的数据绘制成了如图所示的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次共调查了多少村民被调查的村民中,有多少人参加合作医疗得到了报销款?
(2)若该镇有村民10000人,请你计算有多少人参加了合作医疗?要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人,假设这两年的年增长率相同,求这个年增长率.
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A、B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积是_____;
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知的半径为5,圆心的坐标为,交轴于点,交轴于,两点,点是上的一点(不与点、、重合),连结并延长,连结,,.
(1)求点的坐标;
(2)当点在上时.
①求证:;
②如图2,在上取一点,使,连结.求证:;
(3)如图3,当点在上运动的过程中,试探究的值是否发生变化?若不变,请直接写出该定值;若变化,请说明理由.
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【题目】已知,四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,DE=EC,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D,点B在⊙O上,连接OB.
(1)求证:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求证:BC是⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下,求证:四边形ABCD是菱形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形,依此方式,绕点连续旋转2019次得到正方形,如果点的坐标为(1,0),那么点的坐标为________.
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