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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线a≠0)与y轴交与点C03),与x轴交于AB两点,点B坐标为(40),抛物线的对称轴方程为x=1

1)求抛物线的解析式;

2)点MA点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点NB点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求St的函数关系,并求S的最大值;

3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2S=,运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;(3t=t=

【解析】

1)把点ABC的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数abc的解析式,通过解方程组求得它们的值;

2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出SMBNt的函数关系式.利用二次函数的图象性质进行解答;

3)根据余弦函数,可得关于t的方程,解方程,可得答案.

1B坐标为(40),抛物线的对称轴方程为x=1

∴A(﹣20),把点A(﹣20)、B40)、点C03),

分别代入a≠0),得:,解得:,所以该抛物线的解析式为:

2)设运动时间为t秒,则AM=3tBN=t∴MB=63t

由题意得,点C的坐标为(03).在Rt△BOC中,BC==5

如图1,过点NNH⊥AB于点H

∴NH∥CO

∴△BHN∽△BOC

,即

∴HN=t

∴SMBN=MBHN=63tt

S=

△PBQ存在时,0t2

t=1时,SPBQ最大=

答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是

3)如图2,在Rt△OBC中,cos∠B=

设运动时间为t秒,则AM=3tBN=t∴MB=63t

∠MNB=90°时,cos∠B=,即,化简,得17t=24,解得t=

∠BMN=90°时,cos∠B=,化简,得19t=30,解得t=

综上所述:t=t=时,△MBN为直角三角形.

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