Question

在△ABC中，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，则AP的长为多少？
（2）在（1）条件下，求阴影部分面积．
（3）试探究：当点P在何处时，EF最短？请直接写出你所发现的结论，不必证明．

Answer 1

分析：（1）连接OE、OF构建等腰直角三角形OEF，然后利用勾股定理求得AP的长度；
（2）利用扇形的面积公式和三角形的面积公式分别求得S_扇形EOF、S_△EOF的值；然后根据图形的特点知：S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF；
（3）由垂径定理知，当AP最短时，EF则取最小值；又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP⊥BC时，AP最短．

解答：（1）连接OE、OF．
∵∠EOF=2∠EAF，∠EAF=45°，
∴∠EOF=90°；
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=

2

2

EF=2

2

，
∴直径AP=2OE=4

2

；

（2）S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π•(2 2 )2

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4；

（3）在三角形OEP中，根据垂径定理和勾股定理知，当OP取最小值时，EF的值最小；又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP⊥BC时，AP最短．
所以当AP⊥BC时，EF最短．

点评：考查了同学们综合利用垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．