Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=      cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=      cm时，四边形CEDF是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ CF∥ED，∴ ∠FCG=∠EDG.

∵ G是CD的中点，∴CG=DG.

在△FCG和△EDG中，

∴ △FCG≌△EDG（ASA）,

∴ FG=EG.

∵ CG=DG，∴ 四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE=3.5 cm时，平行四边形CEDF是矩形.

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B=60°，AB=3，

∴BM=1.5 cm.

∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3 cm，BC=AD=5 cm.

∵ AE=3.5 cm，∴ DE=1.5 cm =BM.

在△MBA和△EDC中，

∴ △MBA≌△EDC（SAS），

∴ ∠CED=∠AMB=90°.

∵ 四边形CEDF是平行四边形，

∴ 四边形CEDF是矩形.

②当AE=2 cm时，四边形CEDF是菱形.

理由是：∵ AD=5 cm，AE=2 cm，∴ DE=3 cm.

∵ CD=3，∠CDE=60°，

∴ △CDE是等边三角形，∴ CE=DE.

∵ 四边形CEDF是平行四边形，

∴ 四边形CEDF是菱形.