Question

【题目】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．

（Ⅰ）若AB＝AD，求∠ACB的度数；

（Ⅱ）连接AC，若AD＝8，AB＝6，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）7．

【解析】

(Ⅰ)连接BD，根据圆周角定理得到BD为直径，推出△ABD为等腰直角三角形，于是得到∠ACB=∠ADB=45°；

(Ⅱ)如图2，作BH⊥AC于H，根据勾股定理得到BD=10，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠BAC=45°，推出△CDB为等腰直角三角形，得到BC=BD=，解直角三角形即可得到结论．

(Ⅰ)连接BD，

∵∠DAB=90°，

∴BD为直径，

∵AD=AB，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ADB=45°；

(Ⅱ)如图，作BH⊥AC于H，

∵∠DAB=90°，

∴BD为直径，，

∴∠BCD=90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠BAC=∠BAC=45°，

∴∠CBD=∠BDC=45°，

∴△CDB为等腰直角三角形，

∴，

在Rt△ABH中，AH=BH=AB=3，

在Rt△BCH中，，

∴．