【题目】如图,AD是⊙O的直径,弧BA=弧BC,BD交AC于点E,点F在DB的延长线上,且∠BAF=∠C.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)求证:△ABE∽△DBA;
(3)若BD=8,BE=6,求AB的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AB=4.
【解析】
(1)由圆周角定理得出∠ABD=90°,∠C=∠D,证出∠BAD+∠BAF=90°,得出AF⊥AD,即可得出结论;
(2)由圆周角定理得出∠BAC=∠C,∠C=∠D,得出∠BAC=∠D,再由公共角∠ABE=∠DBA,即可得出△ABE∽△DBA;
(3)由相似三角形的性质得出,代入计算即可得出结果.
(1)证明:∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠D=90°,
∵∠BAF=∠C,∠C=∠D,
∴∠BAF=∠D,
∴∠BAD+∠BAF=90°,
即∠FAD=90°,
∴AF⊥AD,
∴AF是⊙O的切线;
(2)证明:∵ ,
∴∠BAC=∠C,
∵∠C=∠D,
∴∠BAC=∠D,即∠BAE=∠D,
又∵∠ABE=∠DBA,
∴△ABE∽△DBA;
(3)解:由(2)得:△ABE∽△DBA,
∴,即,
解得:AB=.
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【题目】某中学九年级男生共250人,现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试,相关数据的统计图如下.设学生引体向上测试成绩为x(单位:个).学校规定:当0≤x<2时成绩等级为不及格,当2≤x<4时成绩等级为及格,当4≤x<6时成绩等级为良好,当x≥6时成绩等级为优秀.样本中引体向上成绩优秀的人数占30%,成绩为1个和2个的人数相同.
(1)补全统计图;
(2)估计全校九年级男生引体向上测试不及格的人数.
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【题目】我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示,图②和图③是升降器的示意图,其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转,当端点P在固定的扇形齿轮上运动时,通过叉臂式结构(点B可在MN上滑动)的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的.点O和点P,A,B在同一直线上.当点P与点E重合时,窗户完全闭合(图②),此时∠ABC=30°;当点P与点F重合时,窗户完全打开(图③).已知的半径OP=5cm,=cm,OA=AB=AC=20cm.
(1)当窗户完全闭合时,OC=_____cm.
(2)当窗户完全打开时,PC=_____cm.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于某点(不是原点),称以点为圆心,长为半径的圆为点的半长圆;对于点,若将点的半长圆绕原点旋转,能够使得点位于点的半长圆内部或圆上,则称点能被点半长捕获(或点能半长捕获点).
(1)如图,在平面直角坐标系中,点,则点的半长圆的面积为__________;下列各点、、、,能被点半长捕获的点有__________;
(2)已知点,,,①如图,点,当时,线段上的所有点均可以被点半长捕获,求的取值范围;②若对于平面上的任意点(原点除外)都不能半长捕获线段上的所有点,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计表
学生借阅图书的次数
借阅图书的次数 | 0次 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次及以上 |
人数 | 7 | 13 | a | 10 | 3 |
学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表的信息,解答下列问题:
(1)a= ;b=
(2)该调查统计数据的中位数是__________次
(3)扇形统计图中,“3次”所对应的扇形圆心角度数是______________;
(4)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次以上”的人数
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【题目】在开发区建设中,要拆除烟囱AB,在地面上事先画定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在从离B点21米远的建筑物CD顶点C,测得A点的仰角为,B点的俯角为,问离B点35米远的文物保护区是否在危险区内,请通过计算说明.
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