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【题目】如图,抛物线经过点,交y 轴于点C

1)求抛物线的顶点坐标.

2)点为抛物线上一点,是否存在点使,若存在请直接给出点坐标;若不存在请说明理由.

3)将直线绕点顺时针旋转,与抛物线交于另一点,求直线的解析式.

【答案】(1),顶点坐标为();(2;(3

【解析】

1)由AB的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
2)由条件可求得点Dx轴的距离,即可求得D点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D点坐标;
3)由勾股定理的逆定理可证得BCAC,设直线ACBE交于点F,过FFMx轴于点M,则可得BF=BC,利用相似三角形的性质可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式.

1)由题意得

解得:

顶点坐标为(

2)存在,

由题意可知C02),A-10),B40),
AB=5OC=2
SABC=ABOC=×5×2=5
SABC=SABD
SABD=×5=
Dxy),
AB|y|=×5|y|=,解得|y|=3
y=3时,由-x2+x+2=3,解得x=1x=2,此时D点坐标为(13)或(23);
y=-3时,由-x2+x+2=-3,解得x=-2x=5,此时D点坐标为(-2-3)或(5-3);
综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(13)或(23)或(-2-3)或(5-3);

3)∵AO=1OC=2OB=4AB=5
AC= BC=

AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC为直角三角形,即BCAC
设直线AC与直线BE交于点F,过FFMx轴于点M,如图所示.


由题意可知∠FBC=45°
∴∠CFB=45°
CF=BC=2

OCMF
∴△AOC∽△AMF

AM=3AO=3MF=3OC=6
∴点F26).
设直线BE的解析式为y=kx+mk≠0),
,解得:
∴直线BE的解析式为y=-3x+12

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