【题目】如图,抛物线经过点,交y 轴于点C:
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)点为抛物线上一点,是否存在点使,若存在请直接给出点坐标;若不存在请说明理由.
(3)将直线绕点顺时针旋转,与抛物线交于另一点,求直线的解析式.
【答案】(1),顶点坐标为();(2);(3)
【解析】
(1)由A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由条件可求得点D到x轴的距离,即可求得D点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D点坐标;
(3)由勾股定理的逆定理可证得BC⊥AC,设直线AC和BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,则可得BF=BC,利用相似三角形的性质可求得F点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE解析式.
(1)由题意得
解得:
∴
∴ 顶点坐标为()
(2)存在,
由题意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),
∴AB=5,OC=2,
∴S△ABC=ABOC=×5×2=5,
∵S△ABC=S△ABD,
∴S△ABD=×5=,
设D(x,y),
∴AB|y|=×5|y|=,解得|y|=3,
当y=3时,由-x2+x+2=3,解得x=1或x=2,此时D点坐标为(1,3)或(2,3);
当y=-3时,由-x2+x+2=-3,解得x=-2或x=5,此时D点坐标为(-2,-3)或(5,-3);
综上可知存在满足条件的点D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(-2,-3)或(5,-3);
(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,
∴AC= ,BC=
∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC为直角三角形,即BC⊥AC.
设直线AC与直线BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,如图所示.
由题意可知∠FBC=45°,
∴∠CFB=45°,
∴CF=BC=2
∵OC∥MF,
∴△AOC∽△AMF,
∴
∴AM=3AO=3,MF=3OC=6,
∴点F(2,6).
设直线BE的解析式为y=kx+m(k≠0),
则 ,解得: ,
∴直线BE的解析式为y=-3x+12.
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【题目】为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若AB=4+,BC=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 ▲ .
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】有一块形状如图的五边形余料,,,,,.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一边在上,并使所截矩形的面积尽可能大.
(1)若所截矩形材料的一条边是或,求矩形材料的面积;
(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不能,请说明理由.
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【题目】已知:如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间t(s)
解答下列各问题:
(1)求△ABC的面积
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;
(4)是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出t的值:不存在请说明理由
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