Question

【题目】已知：如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t(s)

解答下列各问题：

(1)求△ABC的面积

(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

(3)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；

(4)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在，求出t的值：不存在请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=2或4；（3），（4）不存在．

【解析】

（1）过点A作AD⊥BC，求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．

（3）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式；

（4）根据四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解：（1）过点A作AD⊥BC，则S△ABC=×BC×ABsin60°=×6×6×=；

（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，

则AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（6-t）cm，

△PBQ中，BP=（6-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时，BQ=BP，

即t=（6-t），t=2（秒），

当∠BPQ=90°时，BP=BQ，

6-t=t，t=4（秒），

答：当t=2秒或t=4秒时，△PBQ是直角三角形．

（3）过P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B=，

∴PM=PBsin∠B=（6-t），

∴S△PBQ=BQPM=t（6-t），

∴y=S△ABC-S△PBQ=-×t×（6-t）

=，

∴y与t的关系式为y=，

（4）假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，

则S四边形APQC=S△ABC，

∴，

∴t2-6t+12=0，

∵=36-48=-12<0，

∴不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．