Question

【题目】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有　 　．

（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD

①证明：四边形ABCD是“十字形”；

②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．

（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）菱形、正方形；（2）①证明见解析；②见解析（3）≤OE≤．

【解析】

（1）利用“十字形”的定义判断即可；

（2）①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；

②先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-（AC2+BD2），设AC=m，列出二次函数分析即可．

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线互相垂直，

故答案为：菱形、正方形；

（2）①如图1，连接AC，BD

∵AB＝AD，且CB＝CD

∴AC是BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是“十字形”；

②如图2

∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，

∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，

∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，

∴AC⊥BD，

过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，

∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，

∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）

设AC＝m，则BD＝3﹣m，

∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，

∴1≤m≤2，

OE2＝，

∴≤OE2≤，

∴≤OE≤.