Question

【题目】如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0），直线AB与反比例函数y＝的图象相交于点C和点D，将△OBC绕点O逆时针方向旋转θ角（θ为锐角），得到△OB′C′，当θ＝_____时，OC′⊥AB；

Answer 1

【答案】60°

【解析】

设直线AB解析式为y＝kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，联立直线AB与反比例解析式，求出交点C坐标，过C作CM垂直于x轴，在直角三角形COM值，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠COM的度数，在直角三角形AOB中，同理求出∠ABO的度数，由外角性质即可求出∠ACO的度数；根据题意画出图形，求出OC′⊥AB时的旋转角即可确定出θ度数．

解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将A（0，2），B（2，0）代入解析式y＝kx+b中，得

，

解得：．

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，

解方程组 ，

得：或 ，

∴点C坐标为（3，﹣），

如图，过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，CM＝，OM＝3，

∴tan∠COM＝＝，

∴∠COM＝30°，

在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝60°，

∴∠ACO＝∠ABO﹣∠COM＝30°，

若OC′⊥AB，则有∠BNO＝90°，

∵∠NBO＝60°，

∴∠BON＝30°，

∵∠COM＝30°，

∴∠COC′＝∠COM+∠BON＝60°，即旋转角θ为60°，

故答案为：60°．