Question

【题目】如图1，AOBC的顶点A、B、C在⊙O上，点D、E分别在BO、AO的延长线上，且OD＝2OB，OE＝2OA，连接DE．

(1)求∠AOB的度数；

(2)求证：DE是⊙O的切线；

(3)如图2，设直线DE与⊙O相切于点F，连接AD、BF，判断线段AD与BF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）AD∥BF，且AD＝BF．

【解析】

（1）连接OC，根据平行四边形的性质结合半径相等可得出△AOC和△BOC均为等边三角形，进而可得出∠AOC＝∠BOC＝60°，将其代入∠AOB＝∠AOC+∠BOC中即可求出结论；（2）由（1）可知：四边形AOBC为菱形，连接CO，并延长交DE于点M，连接AB交OC于点N，由OD＝2OB，OE＝2OA结合对顶角相等可得出△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质可得出DE＝2AB，OM＝2ON及∠ODE＝∠OBA，由内错角相等两直线平行可得出AB∥DE，由菱形的性质可得出ON⊥AB，OC＝2ON，进而可得出OM⊥DE，OM＝OC，再根据切线的定义即可证出DE是⊙O的切线；（3）连接AB，OF，根据切线的性质可得出OF⊥DE，结合OD＝OE可得出DF＝DE＝AB，结合AB∥DE可得出四边形ADFB为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得出AD∥BF且AD＝BF．

（1）连接OC，如图3所示．

∵四边形AOBC为平行四边形，

∴AC＝OB，AO＝CB．

又∵OA＝OC＝OB，

∴△AOC和△BOC均为等边三角形，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，

∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．

（2）证明：由（1）可知：四边形AOBC为菱形．

连接CO，并延长交DE于点M，连接AB交OC于点N，如图4所示．

∵OD＝2OB，OE＝2OA，∠DOE＝∠BOA，

∴△DOE∽△BOA，

∴DE＝2AB，OM＝2ON，∠ODE＝∠OBA，

∴AB∥DE．

∵四边形AOBC为菱形，

∴ON⊥AB，OC＝2ON，

∴OM⊥DE，OM＝OC，

∴DE是⊙O的切线．

（3）解：AD∥BF，且AD＝BF．

证明：在图2中，连接AB，OF，如图所示．

∵直线DE与⊙O相切于点F，

∴OF⊥DE．

∵OD＝OE，

∴DF＝DE＝AB．

又∵AB∥DE，

∴四边形ADFB为平行四边形，

∴AD∥BF，且AD＝BF．