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【题目】如图,在ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是________

【答案】4.5

【解析】

设⊙OAC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1交⊙OQ1此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1OQ1求出OP1如图当Q2AB边上时,P2B重合时,P2Q2最大值=2.5+1.5=4,由此不难解决问题.

如图,设⊙OAC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1交⊙OQ1,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1OQ1

AB=5,AC=4,BC=3,

AB2=AC2+BC2

∴∠C=90°

∵∠OP1B=90°,

OP1AC

AO=OB

P1C=P1B

OP1= AC=2,

P1Q1最小值为OP1OQ1=0.5,

如图,当Q2AB边上时,P2B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,

P2Q2最大值=2.5+1.5=4,

PQ长的最大值与最小值的和是4.5.

故答案为:4.5.

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