【题目】矩形中,AB=8,BC=6,过对角线中点的直线分别交,边于点,.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)当四边形是菱形时,求的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)根据平行四边形ABCD的性质,判定△BOE≌△DOF(ASA),得出四边形BEDF的对角线互相平分,进而得出结论;
(2)在Rt△ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出OB,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的长.
(1)证明:在矩形ABCD中,AB∥DC
∴
又 O是BD的中点
∴OB=OD
在△BOE与△DOF中
∴△BOE≌△DOF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴四边形BEDF为平行四边形
(2)四边形BEDF为菱形
BE=DE DB⊥EF
又 AB=8 , BC=6, 设BE=DE=x,则AE=8-x
在Rt△ADE中,
∴
∴
∴
∴
∴EF=2OE=.
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【题目】我们规定:对于已知线段,若存在动点(点不与、重合),始终满足,则称是“雅动三角形”,其中,点为“雅动点”,为它的“雅动值”.
图1 图2 图3
(1)如图1,为坐标原点,点坐标是,的“雅动值”为,当时,请直接写出这个三角形的周长;
(2)如图2,已知四边形是矩形,点、的坐标分别是、,直线(且)交、轴于、两点,连接、并延长交于点,问:是否为“雅动三角形”?如果是,请求出它的“雅动值”;如果不是,请说明理由;
(3)如图3,已知(是常数且),点是平面内一动点且满足,若、的平分线交于点,问:点的运动轨迹长度是否为定值?如果是,请求出它的轨迹长度;如果不是,请说明理由.
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【题目】如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 ▲ .
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【题目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)观察图象,直接写出不等式kx+b﹣>0的解集.
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【题目】已知,如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴,y轴分别相交于点A(﹣1,0),B(0,3)两点,其顶点为D,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若抛物线与x轴另一个交点为E,求四边形ABDE的面积.
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【题目】如图,抛物线经过点,交y 轴于点C:
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)点为抛物线上一点,是否存在点使,若存在请直接给出点坐标;若不存在请说明理由.
(3)将直线绕点顺时针旋转,与抛物线交于另一点,求直线的解析式.
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【题目】某商场试销一种成本为每件元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数,且时,;时,.
求一次函数的表达式;
若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D,E分别是AB,AC的中点,点G,F在BC边上(均不与端点重合),DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°,将△CEF绕点E逆时针旋转180°,拼成四边形MGFN,则四边形MGFN周长l的取值范围是___________.
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【题目】用适当的方法解下列一元二次方程
(1) (2x-1)2=25
(2) 3x2-6x-1=0
(3) x2-4x-396=0
(4) (2-3x)+(3x-2)2=0
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