Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G．

（1）求抛物线解析式；
（2）求线段DF的长；
（3）当DG= 时，
①求tan∠CGD的值；
②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），

∴ ，解得 ，∴抛物线解析式为：y=﹣ x2+ x+3

（2）解：当x=0时，y=﹣ x2+ x+3=3，则C（0，3），如图1，

∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，

∴CD=DE，∠CDE=90°，

∵∠2+∠3=90°，

而∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△OCD和△HDE中

，

∴△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，

∵CF⊥BF，

∴四边形OCFH为矩形，

∴HF=OC=3，

∴DF= =3

（3）解：①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1，

∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，

∴∠DFC=45°，

而∠CDG=∠FDC，

∴△DCG∽△DFC，

∴ ，∠DGC=∠DCF，即 ，解得CD= ，

∵CF∥OH，

∴∠DCF=∠2，

∴∠CGD=∠2，

在Rt△OCD中，OD= = =1，

∴tan∠2= =3，

∴tan∠CGD=3；

②∵OD=1，

∴D（1，0），

∵△OCD≌△HDE，

∴HD=OC=3，EH=OD=1，

∴E（4，1），

取CE的中点M，如图2，则M（2，2），

∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，

∴DP经过CE的中点M，

设直线DP的解析式为y=mx+n，

把D（1，0），M（2，2）代入得 ，解得 ，

∴直线DP的解析式为y=2x﹣2，

解方程组 得 或 （舍去），

∴②P点坐标为（ ， ）

【解析】（1）已知A（﹣1，0）和B（5，0）由待定系数法易得函数解析式为y=﹣ x2+ x+3；
（2）由题易得C（0，3）已知CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE可得△CDE是等腰直角三角形，加上互余关系可得△OCD≌△HDE，从而HD=OC=3，

又因为CF⊥BF，所以四边形OCFH为矩形，HF=OC=3，从而利用勾股定理的线段DF的长。
（3）①由△CDE和△DFH都是等腰直角三角形可得△DCG∽△DFC，从而得到CD= ，利用勾股定理可得OD=1，因此 tan∠2= =3，再利用平行线性质易得 ∠CGD=∠2所以tan∠CGD= tan∠2=3
②由△OCD≌△HDE可得HD=OC=3，EH=OD=1，从而E（4，1），取CE的中点M由△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，可得DP经过CE的中点M，这样我们可得直线DP的解析式为y=2x﹣2，与二次函数解析式连列方程组可得交点坐标，即P的坐标。

【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．