Question

19．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称，作BE⊥l于点E，连接AD，DE
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）连结两条线段即可；
（2）连结BC、CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则BC⊥AC，再根据轴对称的性质得到MD平分∠EMC，于是根据角平分线的性质得BC=BE，所以可判断点C与点E关于直线MD对称，得到△BCD≌△BED，则∠BCD=∠BED，再由圆周角定理得∠BCD=∠BAD，于是得到∠BAD=∠BED．

解答 解：（1）如图，

（2）∠BAD=∠BED．理由如下：
连结BC、CD，如图，

∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，
∴MD平分∠EMC，
∴BC=BE，
∴点C与点E关于直线MD对称，
∴△BCD≌△BED，
∴∠BCD=∠BED，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BED．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了轴对称的性质．