Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AB=13，CD∥AB．点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当时CE=3，求S_△CEF：S_△CAF的值；
（2）设CE=x，AE=y，当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC=5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）过点C作CH⊥AE于H，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出EF：AF即可；
（2）延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；
（3）分∠AGE=90°、∠AEG=90°两种情况进行解答，求出BG的长．

解答 解：（1）过点C作CH⊥AE于H，

∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CAF}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•CH}{\frac{1}{2}AF•CH}$=$\frac{EF}{AF}$，
∵CD∥AB，∴$\frac{EF}{AF}=\frac{CE}{AB}$，
∵CE=3，AB=13，∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{3}{13}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CAF}}$=$\frac{3}{13}$．
（2）延长AG交射线CD于点K，

∵CD∥AB，
∴∠EKA=∠KAB，
∵AG平分∠BAE，
∴∠EAK=∠KAB，
∴∠EKA=∠EAK，
∴AE=EK，
∵CE=x，AE=y，
∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，
∵CD∥AB，
∴$\frac{CK}{AB}$=$\frac{CG}{GB}$，
∵CG=2GB，
∴$\frac{CK}{AB}$=2，
∴$\frac{x+y}{13}=2$，
∴y=26-x．
（3）由题意，得：BC=12，
①当∠AGE=90°时，则AG=GK，
∵CD∥AB，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=6．
②当∠AEG=90°时，则△ACF∽△GEF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{EF}{FG}$，∠CFE=∠AFG，
∴△ECF∽△GAF，
∴∠ECF=∠FAG，
又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，
∴∠B=∠GAB，∴GA=GB，
过点G作GN⊥AB于N，∴BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{2}$，
∴BG=$\frac{13}{12}$BN=$\frac{169}{24}$．

点评 本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力．