Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0），顶点为B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点C的坐标为（4，0），连接BC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．当点D在直线AE上，且满足DE=1时，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，由此可确定抛物线的解析式；
（2）可过B作BF⊥x轴于F，根据抛物线的解析式可求出B点的坐标，进而可求出BF、CF、BC的长，即可得到∠BCF即∠ACE的正弦值，进而可在Rt△ACE中，根据AC的长求出AE、CE的值；易证得△ADH∽△BCF，可设出点D的坐标，进而可表示出AH、DH的长，根据相似三角形得到的比例线段即可求出点D的坐标．（需要注意的是点D的位置有两种情况：①点D在线段AE上，②点D在AE的延长线上；要分类讨论．）

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1，0），
∴0=-1-b+3，得b=2，（1分）
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；（2分）

（2）由（1）得这个二次函数图象顶点B的坐标为（1，4）；（3分）
如图所示，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F；
在Rt△BCF中，BF=4，CF=OC-OF=3，由勾股定理，得BC=5，
∴sin∠BCF=

4

5

；
∵AE⊥BC，垂足为点E，
∴∠AEC=90°；
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

，
又AC=5，
可得

AE

5

=

4

5

，
∴AE=4，由勾股定理得CE=3；
过点D作DH⊥x轴，垂足为点H；
由题意知，点H在y轴的右侧，易证△ADH∽△ACE；
设点D的坐标为（x，y），则AH=x+1，DH=y，（4分）
①若点D在AE的延长线上，则AD=5；
得

x+1

4

=

y

3

=

5

5

，
∴x=3，y=3，
所以点D的坐标为（3，3）；（6分）
②若点D在线段AE上，则AD=3；
得

x+1

4

=

y

3

=

3

5

，
∴x=

7

5

，y=

9

5

，
所以点D的坐标为（

7

5

，

9

5

）；
综上所述，点D的坐标为（3，3）或（

7

5

，

9

5

）．

点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．