Question

【题目】抛物线C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）如图1，若A（2，0），连AC、BC．

①直接写出C1的解析式及△ABC的面积；

②将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△A′O′C′（其中A、O、C的对应点分别为A′、O′、C′）．若旋转后的△A′O′C′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上，求点A′的坐标；

（2）如图2，平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点，P（，0）是x轴正半轴上一点，过P作直线交C2的图象于A、B，过A的直线y＝x+b交C2于点C，过P作x轴的垂线交BC于点M，设点M的纵坐标为n，试判断an是否为定值？若是，求这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣x+2，2；②A′（6，2）；（2）an为定值，an＝．

【解析】

（1）①将A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），可得抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣x+2（a＞0），求出C（0，2），OC＝2B（4，0），AB＝4﹣2＝2，所以S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在抛物线C1上，当x＝3时，y＝﹣，可得O'（3，﹣），A'（3，）；若C'、A'在抛物线C1上，设C'（t，﹣t+2），则A'（t+2，﹣t +4），将A'代入C1解得t＝4，A′（6，2）；

（2）平移后的新抛物线C2的解析式为：y＝ax2，设AP的直线解析式为y＝k（x﹣），联立，ax2﹣kx+＝0，xA+xB＝，xAxB＝，xAxB＝（xA+xB），联立，ax2﹣x﹣b＝0，xA+xC＝，xC＝﹣xA，直线BC的解析式为y＝px+q，联立，ax2﹣px﹣q＝0，xB+xC＝，xBxC＝﹣，可得xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，由①②可得q＝，将M代入y＝px+q，求得an＝．

解：（1）①将A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），

得：0＝4a﹣3+2，解得：a＝，

∴抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣x+2（a＞0）

令x＝0，得y＝2，

∴C（0，2），OC＝2

令y＝0，得x2﹣x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝4，

∴B（4，0），

∴AB＝4﹣2＝2

∴S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在抛物线C1上，

∵C'O'＝CO＝2，

∴当x＝3时，y＝﹣，

∴O'（3，﹣），

∴A'（3，）；

若C'、A'在抛物线C1上，设C'（t，﹣t+2），则A'（t+2，﹣t+4），

将A'代入C1得：（t+2）2﹣（t+2）+2＝﹣t+4，

解得t＝4，

∴A′（6，2）；

（2）∵平移后的新抛物线C2顶点在原点，∴平移后的新抛物线C2的解析式为：y＝ax2，

设AP的直线解析式为y＝k（x﹣），

联立，ax2﹣kx+＝0，

∴xA+xB＝，xAxB＝，

∴xAxB＝（xA+xB），

联立，ax2﹣x﹣b＝0，

∴xA+xC＝，xC＝﹣xA，

设直线BC的解析式为y＝px+q，联立，ax2﹣px﹣q＝0，

∴xB+xC＝，xBxC＝﹣，

∴xB+（﹣xA）＝，

∴xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，

由①②可得q＝，将M代入y＝px+q，

∴n＝q+＝，

∴an＝．