Question

【题目】学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．

（1）请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；

（2）如图④，等边△ABC边长AB＝4，点O为它的外心，点M、N分别为边AB、BC上的动点（不与端点重合），且∠MON＝120°，若四边形BMON的面积为s，它的周长记为l，求最小值；

（3）如图⑤，等边△ABC的边长AB＝4，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，请用含x的代数式表示△BDQ的面积S△BDQ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2+2；（3）S△BDQx+．

【解析】

（1）根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可．

（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．证明△OEM≌△OFN（ASA），推出EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，推出S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，证明Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），推出BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，推出欲求最小值，只要求出l的最小值，因为l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM所以欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，由此即可解决问题．

（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明△PDF≌△QDE（ASA），即可解决问题．

解：（1）如图1，作一边上的中线可分割成2个全等三角形，

如图2，连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，

如图3，连接各边的中点可分割成4个全等三角形，

（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．

∵△ABC是等边三角形，O是外心，

∴OB平分∠ABC，∠ABC＝60°∵OE⊥AB，OF⊥BC，

∴OE＝OF，

∵∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴∠EOF+∠EBF＝180°，

∴∠EOF＝∠NOM＝120°，

∴∠EOM＝∠FON，

∴△OEM≌△OFN（ASA），

∴EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，

∴S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，

∵OB＝OB，OE＝OF，∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），

∴BE＝BF，

∴BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，

∴欲求最小值，只要求出l的最小值，

∵l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM，

欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，

∵OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，

此时定值最小，s＝×2×＝，l＝2+2++＝4+，

∴的最小值＝＝2+2．

（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠DEA＝∠DEQ＝∠AFD＝90°，

∴∠EAF+∠EDF＝180°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠EDF＝∠PDQ＝120°，

∴∠PDF＝∠QDE，

∴△PDF≌△QDE（ASA），

∴PF＝EQ，

在Rt△DCF中，∵DC＝2，∠C＝60°，∠DFC＝90°，

∴CF＝CD＝1，DF＝，

同法可得：BE＝1，DE＝DF＝，

∵AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，PA＝x，

∴PF＝EQ＝3+x，

∴BQ＝EQ﹣BE＝2+x，

∴S△BDQ＝BQDE＝（2+x）×＝x+．