Question

如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，

AC

AB

=

3

4

，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2）．
（1）请解释图中点（12，36）在图①中的意义；
（2）求抛物线与x轴的交点M的坐标；
（3）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,动点问题的函数图象

专题：

分析：（1）AP的长为x，矩形APQR的面积为y，得出（12，36）表示当AP=12时，矩形APQR面积为36．
（2）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在RT△BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．
即M的横坐标．
（3）可先用AP表示出BP的长，然后在RT△BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．

解答：解：（1）∵抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR的面积，
∴（12，36）表示当AP=12时，矩形APQR面积为36．
（2）当AP=12时，AP•PQ=36，
∴PQ=3，
又在Rt△BPQ中，tanB=

AC

AB

=

3

4

，
∴PB=4．
∴AB=12+4=16．
∴点M的坐标为（16，0）
（3）若AP=x，则PB=16-x，PQ=

3

4

×（16-x），
∴y=

3

4

×（16-x）•x，
整理得y=-

3

4

（x-8）²+48．
∴当x=8时，y_最大值=48．

点评：本题主要考查了二次函数综合题及动点问题的函数图象，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键．