Question

已知抛物线y=-

1

2

x²+2x的图象如图所示，点N为抛物线的顶点，直线ON上有两个动点P和Q，且满足PQ=2

2

，在直线ON下方的抛物线上存在点M，使△PQM为等腰直角三角形，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：由抛物线解析式可求出直线ON的解析式，由直线ON上有两个动点P和Q，且满足PQ=2

2

，在直线ON下方的抛物线上存在点M，使△PQM为等腰直角三角形，分两种情况①以PQ为斜边时②以PQ为直角边时，分别求解即可．

解答：解：∵抛物线y=-

1

2

x²+2x，点N为抛物线的顶点，
∴N（2，2）
∴直线ON的解析式为，y=x，
∵直线ON上有两个动点P和Q，且满足PQ=2

2

，在直线ON下方的抛物线上存在点M，使△PQM为等腰直角三角形，
①以PQ为斜边时：如图1，

设M₁（a₁，b₁）
∵PQ=2

2

，PM₁=QM₁，∠QM₁P=90°，
∴a₁-2=b₁，
把M₁（a₁，a₁-2）代入y=-

1

2

x²+2x，解得a₁=1+

5

，a₂=1-

5

，
∴M₁（1+

5

，-1+

5

），M₂（1-

5

，-1-

5

）．
②以PQ为直角边时，如图2，

设M（a，b），
∵PQ=2

2

，
∴PM=4，PQ=QM₄，∠PQM=90°，
∴a-4=b，
把M（a，a-4）代入y=-

1

2

x²+2x，解得a=4或-2，
∴M（-2，-6），或（4，0）．
综上所述：点M的坐标为：（1+

5

，-1+

5

），（1-

5

，-1-

5

），（-2，-6），或（1-

5

，-1-

5

）．
．故答案为：（1+

5

，-1+

5

），（1-

5

，-1-

5

），（-2，-6）或（4，0）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．