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    【题目】如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40°得到△A1BC1，AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.

    求证:ΔBCF≌ΔBA1D.

    当∠C=40°时,请你证明四边形A1BCE是菱形.

    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

    【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质，得出A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，再根据ASA即可判定△BCF≌△BA1D；

    （2）根据∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C1=∠C=40°，进而得到∠C1=∠CBF，∠A=∠A1BD，由此可判定A1E∥BC，A1B∥CE，进而得到四边形A1BCE是平行四边形，最后根据A1B=BC，即可判定四边形A1BCE是菱形．

    （1）∵△ABC是等腰三角形，

    ∴AB=BC，∠A=∠C，

    ∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转40度到△A1BC1的位置，

    ∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

    在△BCF与△BA1D中， ，

    ∴△BCF≌△BA1D（ASA）；

    （2）∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，

    ∴∠A=∠C1=∠C=40°，

    ∴∠C1=∠CBF=40°，∠A=∠A1BD=40°，

    ∴A1E∥BC，A1B∥CE，

    ∴四边形A1BCE是平行四边形，

    ∵A1B=BC，

    ∴四边形A1BCE是菱形．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

    （1）求证：AC平分∠DAB；

    （2）求证：△PCF是等腰三角形；

    （3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】 在△ABC中，AB=AC，Ac上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm两部分。求三角形的三边长。

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54，则∠B=（ ）

    A. 54 B. 60 C. 72 D. 66

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

    （1）求证：△ACF∽△DAE；

    （2）若S△AOC=，求DE的长；

    （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

    【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.

    【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论；

    （2）根据S△AOC=，得到S△ACF=，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；

    （3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．

    试题解析：（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

    ∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切线，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

    （2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，过A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

    （3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF与△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF与△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切线．

    【题型】解答题
    【结束】
    25

    【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

    （1）填空：点B的坐标为　 　；

    （2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

    （3）①求证：；

    ②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】问题：如何快速计算1+2+3+…+n 的值呢？

    （1）探究：令s=1+2+3+…+n①，则s=n+n-1+…+2+1②

    ①+②得2s=(n+1)(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)

    因此_________________.

    (2)应用：

    ①计算：________；

    ②如图1，一串连续的整数1，2，3，4，…，自上往下排列，最上面一行有一个数，以下各行均比上一行多一个数字，若共有15行数字，则最底下一行最左边的数是_______；

    ③如图2，一串连续的整数-25，-24，-23，…，按图1方式排列，共有14行数字，求图2中所有数字的和.

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    【题目】阅读理解题

    在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为：d=，

    例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离．

    解：由直线4x+3y﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3

    所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3=0的距离为：d==2

    根据以上材料，解决下列问题：

    （1）求点P1（0，0）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．

    （2）若点P2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB.

    (1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

    (2)若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

    （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？

    （2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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