Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．
（1）求△ABC内切圆的半径；
（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．

Answer 1

解：（1）∵直线AB的解解析式为：y=x+1，
∴A（0，1），B（-1，0），
∵点C和点B关于y轴对称．
∴点C（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∵△ABC为Rt△，AB=AC=，BC=2，
∴r=，即内切圆的半径为-1．

（2）连接OD，OE，DE．AE，

∵∠BAC=90°，
∴DE为直径．∴∠DOE=90°．
又∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠AOE．
又∵∠OAE=∠OBD=45°，且OA=OB．
∴△AOE≌△BOD．故AE=BD．
∴AD+AE=AD+BD=AB=．
分析：（1）因为直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称，所以分别令x=0，y=0，即可求出点A、B的坐标，由此即可求出OA=OB=OC=1，所以可判断△ABC为Rt△，并且AB=AC=，BC=2，所以r=，代入相关数据即可求出内切圆的半径r；
（2）因为过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，即O、A、D、E四点共圆，所以连接OD，OE、DE，因为∠BAC=90°，根据90度的圆周角对的弦是直径可得DE为直径，所以∠DOE=90度．又因∠AOB=90°，利用同角的余角相等可得∠DOB=∠AOE，因为∠OAE=∠OBD=45°，且OA=OB，可得△AOE≌△BOD，故AE=BD．所以AD+AE=AD+BD=AB=．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用圆的性质、全等三角形的知识即可解决问题．