Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点，都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．

（1）若点是反比例函数为常数，)的图象上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）一次函数为常数，)的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数为常数)的图象上有且只有一个“相等点”，令当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时不存在，当时存在．理由见解析；当时，函数的图象上的“相等点”是；（3）的取值范围是．

【解析】

（1）根据相等点的定义求得的值，再用待定系数法求得解析式；

（2）设是一次函数为常数，的图象上的“相等点”，代入解析式求得便可；

（3）若二次函数，为常数）的图象上有且只有一个“相等点”，则二次函数与直线有且只有一个交点，由此得一元二次方程的有且只有2个相等的实数根，由此列出和的关系式，进而根据的取值范围求得的取值范围，再求的取值范围便可．

解：（1）点是反比例函数为常数，的图象上的“相等点”，

，

，

把代入中，得，

反比例的解析式为；

（2）设是一次函数为常数，的图象上的“相等点”，则

，

，

当，即时，方程无解，则此时一次函数为常数，的图象上不存在“相等点”，

当，即时，得，则此时一次函数为常数，的图象上的“相等点”是，，

故当时，一次函数为常数，的图象上不存在“相等点”；当时，一次函数为常数，的图象上的“相等点”是，．

（3）二次函数，为常数）的图象上有且只有一个“相等点”，

只有一个解，

，即有两个相等的实数根，

△，

，

，

，，

，，

，

．