【题目】二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,
下列结论:
①;
②;
③;
④若点,点,点在该函数图象上,则;
⑤若方程的两根为和,且,则.
其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】
利用对称轴方程得到-=2,则b=-4a,于是可对①进行判断;利用x=-3时,y<0可对②进行判断;利用图象过点(-1,0)得到a-b+c=0,把b=-4a代入得到c=-5a,则8a+7b+2c=-30a,然后利用a<0可对③进行判断;根据二次函数的性质,通过比较A、B、C点到对称轴的距离的大小得到.则可对④进行判断;根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0),则抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),所以方程a(x+1)(x-5)=-3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x-5)与直线y=-3的交点的横坐标,于是结合函数图象可对⑤进行判断;
解:∵抛物线的对称轴为直线x=-=2,
∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确;
∵x=-3时,y<0,
∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b,所以②错误;
∵抛物线经过点(-1,0),
∴a-b+c=0,
而b=-4a,
∴a+4a+c=0,则c=-5a,
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,
而a<0,
∴8a+7b+2c>0,所以③正确;
∵二次函数开口向下且对称轴为,
A、B、C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是:
,,,∴,所以④正确.
∵如图所示:抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0),
∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-5),
∴方程a(x+1)(x-5)=-3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x-5)与直线y=-3的交点的横坐标,
∴x1<-1<5<x2;所以⑤错误;
综上所述,其中正确的结论有3个,故选B.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴正半轴交于,两点(点在点左侧),与轴交于点.
(1)若是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点为抛物线对称轴上的一点,求的最小值
(3)连接,在直线下方的抛物线上,是否存在点,使的面积最大,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆.
(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律?请直接写出你所得到的结论(不要求证明);
(3)某城市有四个小区(其位置如图②所示),现拟建一个手机信号基站,为了使这四个小区居民的手机都能有信号,且使基站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此基站应建在何处?请写出你的结论并说明研究思路.
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【题目】如图,AC是ABCD的对角线,在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线于点G.
(1)若∠ABF=∠ACF,求证:CE2=EFEG;
(2)若DG=DC,BE=6,求EF的长.
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【题目】如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,为原点,点,点,且,把绕点逆时针旋转,得,点,旋转后的对应点为,.
(1)点的坐标为______.
(2)解答下列问题:
①设的面积为,用含的式子表示,并写出的取值范围.
②当时,求点的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法,正确的是________.(写出所有正确说法的序号).
①方程是倍根方程;
②若是倍根方程,则;
③若点在反比例函数的图像上,则关于的方程是倍根方程;
④若方程是倍根方程,且相异两点, 都在抛物线上,则方程的一个根为.
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【题目】如图,已知AB=12,P为线段AB上的一个动点,分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P、C、E在一条直线上,∠DAP=60°.M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M、N之间的距离最短为______.(结果留根号)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A.16 B.15 C.14 D.13
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