【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴正半轴交于,两点(点在点左侧),与轴交于点.
(1)若是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点为抛物线对称轴上的一点,求的最小值
(3)连接,在直线下方的抛物线上,是否存在点,使的面积最大,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)的最小值为;(3)的面积最大为,此时的坐标为.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=3,则C(0,3),B(3,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)连接BC交直线l于P,如图,根据两点之间线段最短可判断此时PC+PA的值最小,然后根据等腰直角三角形的性质计算出BC即可;
(3)设的坐标为,作MN∥y轴,交直线BC与点N,则的坐标为,表示出MN的长,进而表示出的面积,然后根据二次函数的性质解答即可.
解:(1)∵是等腰直角三角形,且其腰长为3,
即,
∴,,
把,分别代入得,
解得,
∴抛物线解析式为;
(2)连接交直线于,如图,则,
∵,
∴此时的值最小,而,
∴的最小值为.
(3)设的坐标为,作MN∥y轴,交直线BC与点N,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把,分别代入,得
,
∴ ,
∴y=-x+3,
∴的坐标为,
∴,
∴
=,
∴时,的面积最大为,
∴.
∴的坐标为.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中阴影部分的面积.
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【题目】对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为、宽为的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长,再取最小整数.
甲:如图2,思路是当为矩形对角线长时就可移转过去;结果取.
乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.
丙:如图4,思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取.
下列正确的是( )
A.甲的思路错,他的值对
B.乙的思路和他的值都对
C.甲和丙的值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
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【题目】如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x﹣b与y轴交于点B;抛物线L:y=﹣x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;
(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值;
(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离;
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数.
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【题目】已知抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线过点;②;③;④抛物线的顶点坐标为;⑤当时,随增大而增大.其中结论错误的是( )
A.②③④B.②③⑤C.③⑤D.③④⑤
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【题目】已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形为正方形,点的坐标为,动点沿边从向以每秒的速度运动,同时动点沿边从向以同样的速度运动,连接、交于点.
(1)试探索线段、的关系,写出你的结论并说明理由;
(2)连接、,分别取、、、的中点、、、,则四边形是什么特殊平行四边形?请在图①中补全图形,并说明理由.
(3)如图②当点运动到中点时,点是直线上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,
下列结论:
①;
②;
③;
④若点,点,点在该函数图象上,则;
⑤若方程的两根为和,且,则.
其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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