【题目】在平面直角坐标系中,四边形为正方形,点的坐标为,动点沿边从向以每秒的速度运动,同时动点沿边从向以同样的速度运动,连接、交于点.
(1)试探索线段、的关系,写出你的结论并说明理由;
(2)连接、,分别取、、、的中点、、、,则四边形是什么特殊平行四边形?请在图①中补全图形,并说明理由.
(3)如图②当点运动到中点时,点是直线上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)AF=DE,AF⊥DE,理由详见解析;(2)四边形HIJK为正方形,理由详见解析;(3)N的坐标为(2,-1),(,),(,),(,).
【解析】
(1)用SAS证明△DAE≌△AOF,根据全等三角形的性质得到DE=AF,∠ADE=∠OAF.根据等式的性质得到∠AGD=90°,从而得到AF⊥DE.
(2)根据三角形中位线定理得到IH=KJ=AF,IH∥KJ,得到四边形HIJK为平行四边形,同理IJ=DE,IJ∥DE,从而得到IJ=IH,IJ⊥IH,即可证明HIJK为正方形.
(3)要求O、C、M、N四点构成菱形,OC为唯一已知线段,对OC的角色进行讨论:OC为对角线或OC为边.
当OC为对角线时,此时MN也为对角线,MN垂直平分OC,则M为OC中垂线与直线EC交点,可得M1的坐标,由对称可得此时N1的坐标.
当OC为边时,考虑M的位置,M与O相邻或者与C相邻.
Ⅰ.若M与C相邻,CM=CO=4,此时以C为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2和M3,过M2作M2P⊥OC于点P,得到OE∥PM2,即有△OEC∽△PM2C.根据相似三角形的对应边成比例,即可求出PM2,PC的长,进而得到OP的长.由N2M2∥OC,N2M2=OC,即可得到N2的坐标,由N3和N2关于原点对称,可得N3的坐标;
Ⅱ.若M与O相邻,OM=OC=4此时以O为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4.求出直线EC的解析式,则可得出M4的坐标,由OM4=4,解方程即可得出M4的坐标,从而得出N4的坐标.
(1)AF=DE,AF⊥DE.理由如下:
∵E、F速度相等,∴AE=OF.
∵OADC是正方形,∴AD=OA,∠DAE=∠AOF=90°,∴△DAE≌△AOF(SAS),∴DE=AF,∠ADE=∠OAF.
∵∠OAF+∠DAF=90°,∴∠ADE+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,∴AF⊥DE,∴AF=DE,AF⊥DE.
(2)四边形HIJK为正方形.理由如下:
由(1)知:AF=DE,AF⊥DE.
∵HI是△AEF的中位线、JK是△AFD的中位线,∴IH=AF,IH∥AF,KJ=AF,KJ∥AF,∴IH=KJ,IH∥KJ,∴四边形HIJK为平行四边形,同理IJ=DE,IJ∥DE.
∵AF=DE,AF⊥DE,∴IJ=IH,IJ⊥IH,∴四边形HIJK为正方形.
(3)N的坐标为(2,-1),(,),(,),(,).
要求O、C、M、N四点构成菱形,OC为唯一已知线段,对OC的角色进行讨论:OC为对角线或OC为边.
当OC为对角线时,此时MN也为对角线,MN垂直平分OC,则M为OC中垂线与直线EC交点,可得M1(2,1)由对称可得此时N1(2,-1).
②当OC为边时,考虑M的位置,M与O相邻或者与C相邻.
Ⅰ.若M与C相邻,CM=CO=4,此时以C为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2和M3,过M2作M2P⊥OC于点P,∴OE∥PM2,∴△OEC∽△PM2C.
∵OE=2,OC=4,∴EC=.
∵△OEC∽△PM2C,∴,∴,解得:PM2=,PC=,∴OP=OC-PC=.
∵N2M2∥OC,N2M2=OC,∴N2(,),易证N3和N2关于原点对称,∴N3(,).
Ⅱ.若M与O相邻,OM=OC=4此时以O为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4.
设直线EC为y=kx+b,∴,解得:,∴直线EC为.
设M4(x,),则,解得:,,∴M4(,),∴N4(,).
综上所述:N的坐标为(2,-1),(,),(,),(,).
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)点是抛物线上、之间的一点,过点作轴于点,轴,交抛物线于点,过点作轴于点,当矩形的周长最大时,求点的横坐标;
(3)如图2,连接、,点在线段上(不与、重合),作,交线段于点,是否存在这样点,使得为等腰三角形?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴正半轴交于,两点(点在点左侧),与轴交于点.
(1)若是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点为抛物线对称轴上的一点,求的最小值
(3)连接,在直线下方的抛物线上,是否存在点,使的面积最大,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图,ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E,连接DF,请根据上述条件,写出一个正确结论”其中四位同学写出的结论如下:
小青:;小何:四边形DFBE是正方形;
小夏:;小雨:.
这四位同学写出的结论中不正确的是
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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【题目】已知函数.
(1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标为 ;
(2)当x 时,y随x的增大而减小;
(3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线.
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【题目】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆.
(1)请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律?请直接写出你所得到的结论(不要求证明);
(3)某城市有四个小区(其位置如图②所示),现拟建一个手机信号基站,为了使这四个小区居民的手机都能有信号,且使基站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此基站应建在何处?请写出你的结论并说明研究思路.
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【题目】如图,AC是ABCD的对角线,在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线于点G.
(1)若∠ABF=∠ACF,求证:CE2=EFEG;
(2)若DG=DC,BE=6,求EF的长.
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【题目】如图,已知AB=12,P为线段AB上的一个动点,分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P、C、E在一条直线上,∠DAP=60°.M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M、N之间的距离最短为______.(结果留根号)
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