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【题目】在平面直角坐标系中,四边形为正方形,点的坐标为,动点沿边以每秒的速度运动,同时动点沿边以同样的速度运动,连接交于点.

1)试探索线段的关系,写出你的结论并说明理由;

2)连接,分别取的中点,则四边形是什么特殊平行四边形?请在图①中补全图形,并说明理由.

3)如图②当点运动到中点时,点是直线上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1AF=DEAFDE,理由详见解析;(2)四边形HIJK为正方形,理由详见解析;(3N的坐标为(2,-1),(),(),().

【解析】

1)用SAS证明DAEAOF,根据全等三角形的性质得到DE=AF,∠ADE=OAF.根据等式的性质得到∠AGD=90°,从而得到AFDE

2)根据三角形中位线定理得到IH=KJ=AFIHKJ,得到四边形HIJK为平行四边形,同理IJ=DEIJDE,从而得到IJ=IHIJIH,即可证明HIJK为正方形.

3)要求OCMN四点构成菱形,OC为唯一已知线段,对OC的角色进行讨论:OC为对角线或OC为边.

OC为对角线时,此时MN也为对角线,MN垂直平分OC,则MOC中垂线与直线EC交点,可得M1的坐标,由对称可得此时N1的坐标.

OC为边时,考虑M的位置,MO相邻或者与C相邻.

Ⅰ.若MC相邻,CM=CO=4,此时以C为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2M3,过M2M2POC于点P,得到OEPM2,即有OECPM2C.根据相似三角形的对应边成比例,即可求出PM2PC的长,进而得到OP的长.由N2M2OCN2M2=OC,即可得到N2的坐标,由N3N2关于原点对称,可得N3的坐标;

Ⅱ.若MO相邻,OM=OC=4此时以O为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4.求出直线EC的解析式,则可得出M4的坐标,由OM4=4,解方程即可得出M4的坐标,从而得出N4的坐标.

1AF=DEAFDE.理由如下:

EF速度相等,∴AE=OF

OADC是正方形,∴AD=OA,∠DAE=AOF=90°,∴DAEAOFSAS),∴DE=AF,∠ADE=OAF

∵∠OAF+DAF=90°,∴∠ADE+DAF=90°,∴∠AGD=90°,∴AFDE,∴AF=DEAFDE

2)四边形HIJK为正方形.理由如下:

由(1)知:AF=DEAFDE

HIAEF的中位线、JKAFD的中位线,∴IH=AFIHAFKJ=AFKJAF,∴IH=KJIHKJ,∴四边形HIJK为平行四边形,同理IJ=DEIJDE

AF=DEAFDE,∴IJ=IHIJIH,∴四边形HIJK为正方形.

3N的坐标为(2,-1),(),(),().

要求OCMN四点构成菱形,OC为唯一已知线段,对OC的角色进行讨论:OC为对角线或OC为边.

OC为对角线时,此时MN也为对角线,MN垂直平分OC,则MOC中垂线与直线EC交点,可得M121)由对称可得此时N12,-1).

②当OC为边时,考虑M的位置,MO相邻或者与C相邻.

Ⅰ.若MC相邻,CM=CO=4,此时以C为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2M3,过M2M2POC于点P,∴OEPM2,∴OECPM2C

OE=2OC=4,∴EC=

OECPM2C,∴,∴,解得:PM2=PC=,∴OP=OCPC=

N2M2OCN2M2=OC,∴N2),易证N3N2关于原点对称,∴N3).

Ⅱ.若MO相邻,OM=OC=4此时以O为圆心,OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4

设直线ECy=kx+b,∴,解得:,∴直线EC

M4x),则,解得:,∴M4),∴N4).

综上所述:N的坐标为(2,-1),(),(),().

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