【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)点是抛物线上、之间的一点,过点作轴于点,轴,交抛物线于点,过点作轴于点,当矩形的周长最大时,求点的横坐标;
(3)如图2,连接、,点在线段上(不与、重合),作,交线段于点,是否存在这样点,使得为等腰三角形?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);;(2)点的横坐标为;(3)AN=1或.
【解析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为,可知对称轴为x=-2,代入解析式即可得出顶点坐标;(2)设点,则,,可得矩形的周长,即可求解;(3)由D为顶点,A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD,即可证明∠DAB=∠DBA,根据,利用角的和差关系可得,即可证明,可得;分、、,三种情况分别求解即可.
(1)∵抛物线经过点和点.
∴抛物线的表达式为:,
∴对称轴为:x==-2,
把x=-2代入得:y=4,
∴顶点.
(2)设点,
则,,
矩形的周长,
∵,
∴当时,矩形周长最大,此时,点的横坐标为.
(3)∵点D为抛物线顶点,A、B为抛物线与x轴的交点,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∵D(-2,4),A(-5,0),B(1,0)
∴,,
①当时,
∵∠NAM=∠MBD,∠NMA=∠MBD,
∴,
∴,
∴=AB-AM=1;
②当时,则,
∵∠DMN=∠DBA,
∴∠NDM=∠DBA,
∵∠DAB是公共角,
∴,
∴,
∴,即:,
∴,
∵,即,
∴;
③当时,
∵,而,
∴,
∴;
综上所述:或.
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【题目】晓东在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:解方程.
解:原方程可变形,得
.
,
,
直接开平方并整理,得,.
我们称晓东这种解法为“平均数法”.
(1)下面是晓东用“平均数法”解方程时写的解题过程.
.
,
.
直接开平方并整理,得,.
上述过程中的“□”,“○”,“☆”,“¤”表示的数分别为________,________,________,________.
(2)请用“平均数法”解方程:.
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于、两点,,交轴于点,对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)连接,是线段上一点,关于直线的对称点正好落在上,求点的坐标;
(3)动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度向点运动,过作轴的垂线交抛物线于点,交线段于点.设运动时间为秒.
①若与相似,请直接写出的值;
②能否为等腰三角形?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,地物线点:(、、均不为0)的顶点为,与轴的交点为,我们称以为顶点,对称轴是轴且过点的抛物线为抛物线的衍生抛物线,直线为抛物线的衍生直线.
(1)求抛物线的衍生抛物线和衍生直线的解析式;
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是和,求这条抛物线的解析式.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,F是线段AC上一点,过点A的⊙F交AB于点D,E是线段BC上一点,且ED=EB,则EF的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 2
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交BC于点E(BE>EC),且BD=2.过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求图中阴影部分的面积.
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【题目】对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为、宽为的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长,再取最小整数.
甲:如图2,思路是当为矩形对角线长时就可移转过去;结果取.
乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.
丙:如图4,思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取.
下列正确的是( )
A.甲的思路错,他的值对
B.乙的思路和他的值都对
C.甲和丙的值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形为正方形,点的坐标为,动点沿边从向以每秒的速度运动,同时动点沿边从向以同样的速度运动,连接、交于点.
(1)试探索线段、的关系,写出你的结论并说明理由;
(2)连接、,分别取、、、的中点、、、,则四边形是什么特殊平行四边形?请在图①中补全图形,并说明理由.
(3)如图②当点运动到中点时,点是直线上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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