Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-

3

4

x+3的图象分别与x轴和y轴相交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形，∠BAC=90°，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：△OAB≌△DCA；
（3）求过B、C两点的直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）分别令x与y为0，求出对应y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AB=AC，利用AAS即可得证；
（3）由A的坐标确定出OA的长，利用全等三角形的对应边相等得到OA=CD，AD=OB，求出OD与CD的长，确定出C坐标，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC解析式．

解答：解：（1）对于一次函数y=-

3

4

x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，3）；
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠OBA，
在△OAB和△DCA中，

∠OBA=∠DAC ∠AOB=∠CDA=90° AB=CA

，
∴△OAB≌△DCA（AAS）；

（3）∵△OAB≌△DCA，
∴OA=CD=4，OB=AD=3，
∴OD=OA+AD=4+3=7，
∴C（7，4），
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B与C坐标代入得：

b=3 7k+b=4

，
解得：

k= 1 7 b=3

，
则直线BC解析式为y=

1

7

x+3．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．