Question

2．东南花都某花卉展区拟设计一个边界用篱笆围成的扇形花圃．
（1）若花圃的设计面积为36m²，则扇形的半径为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
（2）现有一段36m的篱笆用来围成这个花圃，问扇形的半径应设计为多少米时，花圃的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设出扇形的半径和弧长，表示出面积和弧长，根据不等式的性质，可以得出答案；
（2）列出扇形面积与半径的函数关系式，根据二次函数性质解答．

解答 解：（1）设扇形的半径为r米，弧长为l米，
则扇形的面积为S=$\frac{1}{2}$lr=36，扇形的周长C=2r+l≥2$\sqrt{2lr}$=24，
当且仅当l=2r时，r²=36，r=6时等号成立，C取得最小值24，
∴当扇形的半径为6米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是24米．
（2）∵扇形的周长C=2r+l=36，
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$（36-2r）r=-r²+18r=-（r-9）²+81，
∴当r=9时，S取得最大值81，
∴扇形的半径应设计为9米时，花圃的面积最大，最大面积是81m²．

点评 本题主要考查了不等式的性质和二次函数的实际应用，熟悉不等式的性质和二次函数的性质是解决问题的关键．