Question

17．如图，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=2，以AB长为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交BC于点E
（1）如图①，若四边形AOED是平行四边形，求BE的长；
（2）如图②，试判断点E在线段BC上的位置，并说明理由；
（3）如图②，若∠C=30°，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图①，根据平行四边形的性质得OA∥DE，OA=DE，则OB∥DE，OB=DE，则可判断四边形OBED为平行四边形，于是得到BE=OD=$\frac{1}{2}$AB=1；
（2）如图②，连结OD、DB，先证明CB为⊙O的切线，加上DE为⊙O的切线，根据切线长定理得EB=ED，而OB=OD，则OE垂直平分BD，再由AB为直径得到∠ADB=90°，所以OE∥AC，则可判断OE为△BAC的中位线，所以点E为BC的中点；
（3）先由OE∥AC得到∠OEB=∠C=30°，再计算出∠BOE=60°，BE=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，然后用三角形的面积减去扇形的面积可计算出阴影部分的面积．

解答 解：（1）连结OD，如图①，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴OA∥DE，OA=DE，
∴OB∥DE，OB=DE，
∴四边形OBED为平行四边形，
∴BE=OD=$\frac{1}{2}$AB=1；
（2）E点为BC的中点．理由如下：
如图②，连结OD、DB，
∵∠ABC=90°，
∴CB为⊙O的切线，
∵DE为⊙O的切线，
∴EB=ED，
而OB=OD，
∴OE垂直平分BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴OE∥AC，
而OA=OB，
∴OE为△BAC的中位线，
∴点E为BC的中点；
（3）∵OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=30°，
∴∠BOE=60°，BE=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$•1•2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{1}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了平行四边形的判定与性质和扇形的计算．